12º ano
  1. Introdução à Álgebra  1.1. Matrizes  1.1.1. Definição e tipos de matrizes  1.1.2. Operações em matrizes  1.1.3. Transposição de uma matriz  1.1.4. Determinantes e suas propriedades  1.1.5. Inverso de uma matriz  1.1.6. Resolvendo equações lineares usando matrizes  1.1.7. Aplicações de matrizes  1.2. Números complexos  1.2.1. Definição e representação de números complexos  1.2.2. Compreendendo a álgebra dos números complexos  1.2.3. Módulo e argumento de números complexos  1.2.4. Introdução aos números complexos  1.2.5. Teorema de De Moivre  1.2.6. Raízes de números complexos  1.2.7. Aplicações em geometria  1.3. Vetores e geometria 3D  1.3.1. Álgebra vetorial  1.3.2. Produto escalar e vetorial  1.3.3. Equação de uma linha no espaço  1.3.4. Equação de um plano em vetores e geometria 3D  1.3.5. Distância entre retas e planos  1.3.6. Ângulo entre linhas e planos
  2. Cálculos  2.1. Limites e continuidade  2.1.1. O conceito de limites  2.1.2. Continuação das obras  2.1.3. Tipos de descontinuidade  2.1.4. Compreendendo as limitações da mão esquerda e da mão direita  2.2. Discriminação  2.2.1. Derivado como taxa de variação  2.2.2. Técnicas de diferenciação  2.2.3. Derivadas de ordem superior  2.2.4. Aplicações de derivadas  2.2.5. Tangente e normal  2.2.6. Funções crescentes e decrescentes  2.3. Integração  2.3.1. Integral indefinida  2.3.2. Integral definida  2.3.3. Técnicas de integração  2.3.4. Compreendendo a área sob a curva na integração  2.3.5. Aplicações de integrais em geometria  2.4. Equações Diferenciais  2.4.1. Formação de equações diferenciais  2.4.2. Ordem e grau de equações diferenciais  2.4.3. Soluções de equações diferenciais  2.4.4. Aplicações de equações diferenciais  2.4.5. Introdução às equações diferenciais lineares de primeira ordem
  3. Probabilidade e estatística  3.1. Compreendendo a Probabilidade  3.1.1. Compreendendo a probabilidade condicional  3.1.2. Teorema de Bayes  3.1.3. Compreendendo variáveis aleatórias em probabilidade e estatística  3.1.4. Distribuições de probabilidade  3.1.5. Distribuição binomial e normal  3.2. Figuras  3.2.1. Média e desvio padrão  3.2.2. Variância e covariância  3.2.3. Correlação e regressão  3.2.4. Compreendendo o teste de hipóteses em estatística
  4. Programação linear  4.1. Método gráfico em programação linear  4.1.1. Compreendendo regiões viáveis e inviáveis em programação linear  4.1.2. Solução ótima no método gráfico de programação linear  4.1.3. Análise de sensibilidade no método gráfico  4.2. Método Simplex  4.2.1. Formulação de problemas no método simplex  4.2.2. Resolvendo problemas de programação linear usando o método simplex  4.2.3. Método dual do simplex
  5. Relações e funções  5.1. Tipos de relações  5.1.1. Relação reflexiva  5.1.2. Relações simétricas  5.1.3. Compreendendo relações transitivas  5.1.4. Relação de equivalência  5.2. Tipos de tarefas  5.2.1. Função sobrejetora  5.2.2. Função um-para-um  5.2.3. Função inversa  5.2.4. Trabalho conjunto  5.3. Funções trigonométricas inversas  5.3.1. Valores principais em funções trigonométricas inversas  5.3.2. Propriedades e gráficos das funções trigonométricas inversas  5.3.3. Aplicações em cálculo
  6. Trigonometria avançada  6.1. Introdução às equações trigonométricas  6.1.1. Soluções gerais de equações em equações trigonométricas  6.1.2. Fórmula de transformação  6.2. Funções hiperbólicas  6.2.1. Definições e propriedades das funções hiperbólicas  6.2.2. Relação entre funções hiperbólicas e trigonométricas
  7. Lógica aritmética  7.1. Raciocínio lógico  7.1.1. Declarações e conectivos lógicos  7.1.2. Tautologia e contradição  7.2. Evidência  7.2.1. Evidência direta  7.2.2. Evidência indireta  7.2.3. Prova por contradição  7.2.4. Prova por indução matemática
  8. Aplicações da Matemática  8.1. Aplicações do cálculo  8.1.1. Problemas de máximo e mínimo  8.1.2. Aplicações de economia e biologia  8.1.3. Taxa de variação na física  8.2. Aplicações de Probabilidade  8.2.1. Análise de risco  8.2.2. Tomada de decisão em aplicações de probabilidade  8.2.3. Teoria dos jogos

12º ano → Lógica aritmética → Evidência ↓


Evidência direta


Em matemática, um dos métodos de prova mais fundamentais e amplamente utilizados é a prova direta. A ideia central de uma prova direta é bastante simples: partindo de fatos conhecidos, axiomas ou teoremas previamente estabelecidos, você conclui logicamente a afirmação que deseja provar. Este método funciona melhor quando há um caminho claro e direto da hipótese (o que é dado) à conclusão (o que queremos provar).

Provas diretas são comuns em muitas áreas da matemática, incluindo álgebra, geometria e teoria dos números, porque fornecem um método concreto e explícito para demonstrar a verdade das afirmações matemáticas.

Como a evidência direta funciona

Para construir uma prova direta, normalmente você segue estas etapas:

  1. Comece com as hipóteses ou suposições dadas. Estas são situações que você sabe serem verdadeiras.
  2. Use definições e resultados previamente estabelecidos que são relevantes para o problema.
  3. Aplique inferência lógica para chegar a uma conclusão intermediária.
  4. Continue o processo até chegar à conclusão desejada.

Para garantir que a prova seja válida, é importante seguir cada etapa logicamente. Fazendo isso, você demonstra que, se as suposições iniciais são verdadeiras, então a conclusão também deve ser verdadeira.

Exemplos de evidência direta

Exemplo 1: Provando que a soma de dois números pares é par

Vamos provar que a soma de dois números pares é sempre um número par.

Evidência:

Suponha que temos dois números pares, a e b. Por definição, um número par pode ser expresso como 2k, onde k é um número inteiro. Portanto, podemos escrever:

a = 2m
b = 2n

para alguns inteiros m e n. Agora, considere a soma de a e b:

a + b = 2m + 2n

Podemos fazer a fatoração por 2 no lado direito:

a + b = 2(m + n)

A expressão 2(m + n) mostra que a + b é divisível por 2, o que significa que é par.

Portanto, a soma de dois números pares é par.

2m 2n 2(m+n)

Uma representação visual de cada um dos números pares 2m, 2n e sua soma 2(m+n).

Exemplo 2: Provando que o produto de dois números ímpares é ímpar

Vamos provar que o produto de dois números ímpares é sempre ímpar.

Evidência:

Suponha que temos dois números ímpares, a e b. Por definição, um número ímpar pode ser expresso como 2k + 1, onde k é um número inteiro. Portanto, podemos escrever:

a = 2m + 1
b = 2n + 1

para alguns inteiros m e n. Agora, considere o produto de a e b:

a * b = (2m + 1)(2n + 1)

Expanda a expressão:

a * b = 4mn + 2m + 2n + 1

Note que 4mn + 2m + 2n é divisível por 2, o que significa que é par. Adicionando 1 torna a expressão toda ímpar.

Portanto, o produto de dois números ímpares é ímpar.

2m+1 2n+1

Uma representação diagramática onde cada círculo representa um número ímpar.

Por que usar evidência direta?

Provas diretas são úteis porque são diretas e conduzem passo a passo a partir de informações conhecidas até a conclusão desejada. Elas ajudam a reforçar nossa compreensão de conclusões lógicas e da aplicação de definições e teoremas.

Além disso, provas diretas geralmente são mais fáceis de entender e construir, tornando-as um método preferido, especialmente quando o caminho lógico da hipótese à conclusão é claro.

Limitações da evidência direta

Apesar de suas vantagens, provas diretas não são adequadas para todas as situações. Por exemplo, em casos onde não é fácil chegar a uma conclusão a partir de hipóteses dadas por meio de raciocínio direto, outras formas de prova podem ser necessárias, como prova por contradição, prova pelo contrarrecíproco ou indução matemática.

Além disso, uma prova direta requer uma compreensão clara de como cada etapa segue logicamente das etapas anteriores. Se o caminho direto não estiver claro, pode não ser possível criar tal prova.

Exemplo 3: Provando uma propriedade matemática usando evidência direta

Como exemplo, vamos provar diretamente que, se n é um número inteiro e n^2 é par, então n também é par.

Evidência:

Seja n um número inteiro tal que n^2 é par. Por definição, se n^2 é par, então pode ser escrito como n^2 = 2k para algum número inteiro k.

Agora, para efeito de contradição, vamos supor que n é ímpar. Se n é ímpar, então pode ser expresso como n = 2m + 1 para algum número inteiro m.

Elevando ao quadrado ambos os lados, obtemos:

n^2 = (2m + 1)^2

Expandindo para o lado direito:

n^2 = 4m^2 + 4m + 1

Note que 4m^2 + 4m é par, mas adicionar 1 torna a expressão ímpar.

Isso contraria nossa suposição de que n^2 é par. Portanto, n deve ser par.

Conclusão

A prova direta é uma técnica eficaz e essencial no raciocínio matemático. Envolve pensamento claro, lógico e inferência, baseada em fatos estabelecidos para demonstrar a verdade de uma afirmação específica. Aprender a criar provas diretas aprimora as habilidades de resolução de problemas e aprofunda a compreensão dos princípios matemáticos.

Através da prática de provas diretas, os alunos melhoram sua capacidade de pensar criticamente e formar argumentos de maneira coerente e lógica. Como a matemática é fundamental para muitos campos científicos e práticos, as habilidades adquiridas através do domínio de provas diretas servirão bem aos alunos em cenários acadêmicos e do mundo real.


12º ano → 7.2.1


U
username
0%
concluído em 12º ano

← Anterior (7.2)
Evidência
Próximo (7.2.2) →
Evidência indireta

Comentários 



Evidência direta

https://www.buddymath.com/g12/7.2.1?bmal=pt