Класс 12
  1. Введение в алгебру  1.1. Матрицы  1.1.1. Определение и типы матриц  1.1.2. Операции с матрицами  1.1.3. Транспонирование матрицы  1.1.4. Определители и их свойства  1.1.5. Обратная матрица  1.1.6. Решение линейных уравнений с помощью матриц  1.1.7. Применение матриц  1.2. Комплексные числа  1.2.1. Определение и представление комплексных чисел  1.2.2. Понимание алгебры комплексных чисел  1.2.3. Модуль и аргумент комплексных чисел  1.2.4. Введение в комплексные числа  1.2.5. Теорема Муавра  1.2.6. Корни комплексных чисел  1.2.7. Приложения в геометрии  1.3. Векторы и 3D геометрия  1.3.1. Векторная алгебра  1.3.2. Скалярное и векторное произведения  1.3.3. Уравнение прямой в пространстве  1.3.4. Уравнение плоскости в векторах и 3D геометрии  1.3.5. Расстояние между линиями и плоскостями  1.3.6. Угол между прямыми и плоскостями
  2. Вычисления  2.1. Пределы и непрерывность  2.1.1. Понятие границ  2.1.2. Продолжение работ  2.1.3. Виды разрывов  2.1.4. Понимание ограничений левой и правой руки  2.2. Дискриминация  2.2.1. Производная как скорость изменения  2.2.2. Техники дифференцирования  2.2.3. Производные высших порядков  2.2.4. Применение производных  2.2.5. Касательная и нормаль  2.2.6. Возрастательные и убывающие функции  2.3. Интеграция  2.3.1. Неопределенный интеграл  2.3.2. Опрелеленный интеграл  2.3.3. Техники интеграции  2.3.4. Понимание площади под кривой в интегрировании  2.3.5. Применение интегралов в геометрии  2.4. Дифференциальные уравнения  2.4.1. Формирование дифференциальных уравнений  2.4.2. Порядок и степень дифференциальных уравнений  2.4.3. Решения дифференциальных уравнений  2.4.4. Применение дифференциальных уравнений  2.4.5. Введение в линейные дифференциальные уравнения первого порядка
  3. Вероятность и статистика  3.1. Понимание вероятности  3.1.1. Понимание условной вероятности  3.1.2. Теорема Байеса  3.1.3. Понимание случайных величин в теории вероятностей и статистике  3.1.4. Распределения вероятностей  3.1.5. Биномиальное и нормальное распределение  3.2. Фигуры  3.2.1. Среднее и стандартное отклонение  3.2.2. Дисперсия и ковариация  3.2.3. Корреляция и регрессия  3.2.4. Понимание проверки гипотез в статистике
  4. Линейное программирование  4.1. Графический метод в линейном программировании  4.1.1. Понимание допустимых и недопустимых областей в линейном программировании  4.1.2. Оптимальное решение в графическом методе линейного программирования  4.1.3. Анализ чувствительности в графическом методе  4.2. Метод симплекс  4.2.1. Формулировка задач в методе симплекс  4.2.2. Решение задач линейного программирования с использованием метода симплекс  4.2.3. Метод двойственного симплекса
  5. Отношения и функции  5.1. Типы отношений  5.1.1. Рефлексивное отношение  5.1.2. Симметричные отношения  5.1.3. Понимание транзитивных отношений  5.1.4. Отношение эквивалентности  5.2. Типы задач  5.2.1. Отображение на  5.2.2. Функция взаимно однозначного соответствия  5.2.3. Обратная функция  5.2.4. Совместная работа  5.3. Обратные тригонометрические функции  5.3.1. Основные значения в обратных тригонометрических функциях  5.3.2. Свойства и графики обратных тригонометрических функций  5.3.3. Применения в анализе
  6. Продвинутая тригонометрия  6.1. Введение в тригонометрические уравнения  6.1.1. Общие решения уравнений в тригонометрических уравнениях  6.1.2. Формула преобразования  6.2. Гиперболические функции  6.2.1. Определения и свойства гиперболических функций  6.2.2. Связь между гиперболическими и тригонометрическими функциями
  7. Арифметическая логика  7.1. Логическое мышление  7.1.1. Утверждения и логические связки  7.1.2. Тавтология и противоречие  7.2. Доказательство  7.2.1. Прямое доказательство  7.2.2. Непрямые доказательства  7.2.3. Доказательство от противного  7.2.4. Доказательство методом математической индукции
  8. Применение математики  8.1. Применения исчисления  8.1.1. Проблемы максимума и минимума  8.1.2. Приложения экономики и биологии  8.1.3. Скорость изменения в физике  8.2. Применение вероятности  8.2.1. Анализ риска  8.2.2. Принятие решений в приложениях вероятности  8.2.3. Теория игр

Класс 12 ↓


Продвинутая тригонометрия


Тригонометрия — это раздел математики, изучающий отношения между длинами сторон и углами треугольников. В продвинутой тригонометрии мы углубляем изучение свойств и применения тригонометрических функций за пределами базовых отношений прямоугольных треугольников.

Тригонометрические функции и их определения

Основные тригонометрические функции — это синус (sin), косинус (cos) и тангенс (tan). Эти функции традиционно определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника:

sin(θ) = (frac{text{противолежащая}}{text{гипотенуза}})
cos(θ) = (frac{text{прилежащая}}{text{гипотенуза}})
tan(θ) = (frac{text{противолежащая}}{text{прилежащая}})

Обратные функции к этим являются косеканс (csc), секанс (sec) и котангенс (cot):

csc(θ) = (frac{1}{sin(θ)})
sec(θ) = (frac{1}{cos(θ)})
cot(θ) = (frac{1}{tan(θ)})

Единичная окружность и радовая мера

Единичная окружность является фундаментальной частью тригонометрии. Это окружность с радиусом один, центрированная в начале координат в плоскости координат. Углы в радианах являются альтернативным способом измерения углов, где угол определяется как длина дуги, которая подпирает угол в центре окружности с радиусом один.

1 радиан примерно равен 57.2958 градусов. Угол, измеренный в радианах, определяется как:

Угол (в радианах) = (frac{text{Длина дуги}}{text{Радиус}})

1r=1θ

Тригонометрические тождества

Тригонометрические тождества — это уравнения, которые истинны для любого значения переменной, где обе стороны уравнения определены. Эти тождества полезны для упрощения выражений или решения уравнений.

  • Пифагорово тождество
    sin²(θ) + cos²(θ) = 1
    1 + tan²(θ) = sec²(θ)
    1 + cot²(θ) = csc²(θ)
  • Тождества суммы и разности углов
    sin(α ± β) = sin(α)cos(β) ± cos(α)sin(β)
    cos(α ± β) = cos(α)cos(β) ∓ sin(α)sin(β)
    tan(α ± β) = (frac{tan(α) ± tan(β)}{1 ∓ tan(α)tan(β)})

Пример: Доказательство тождества

Рассмотрим тождество sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ).

  1. Начнем с тождества суммы углов для синуса: sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β)
  2. Установим α = β = θ :
    3. sin(θ + θ) = sin(θ)cos(θ) + cos(θ)sin(θ)
  3. Это просто: sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)

Построение графиков тригонометрических функций

Графики тригонометрических функций являются периодическими. Это означает, что они повторяют значения с регулярными интервалами или периодами. Понимание основной формы этих графиков помогает понять их поведение.

Графики синуса и косинуса

Функции синуса и косинуса имеют амплитуды (высоту своих пиков), периоды (длину времени до начала повторения) и фазы (сдвиг по оси x).

XYХорда

График тангенса

Функция тангенса имеет период π и вертикальные асимптоты, где функция не определена.

XYлиния тангенса

Обратные тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции используются для нахождения угла, соответствующего заданному тригонометрическому отношению. Например, если sin(θ) = 0.5, то θ = sin -1 (0.5).

  • sin -1 (x) где -1 ≤ x ≤ 1
  • cos -1 (x) для -1 ≤ x ≤ 1
  • tan -1 (x) для всех вещественных чисел

Решение тригонометрических уравнений

Решение тригонометрических уравнений часто включает использование тождеств и алгебраические манипуляции для нахождения углов, удовлетворяющих уравнению.

Пример: Решите 2sin(θ) - 1 = 0 для 0 ≤ θ < 2π

  1. Добавьте 1 к обеим сторонам:
    2sin(θ) = 1
  2. Разделите на 2:
    sin(θ) = 0.5
  3. Найдите θ:
    θ = sin -1 (0.5)
  4. Возможное решение: θ = (frac{π}{6}) или (frac{5π}{6})

Применение тригонометрии

Тригонометрия широко используется в различных областях, таких как физика, инженерия, астрономия и архитектура. Вот некоторые применения:

  • Физика: Расчет моделей волнового движения, колебаний и периодических явлений.
  • Инженерия: Проектирование и анализ механических конструкций, электрических цепей и обработки сигналов.
  • Астрономия: Измерение расстояний между звездами и понимание небесной механики.
  • Архитектура: Проектирование крыш, мостов и других конструкций, включающих углы и расстояния.

Класс 12 → 6


U
username
0%
завершено в Класс 12

← предыдущая (5.3.3)
Применения в анализе
следующая (6.1) →
Введение в тригонометрические уравнения

комментарии 



Продвинутая тригонометрия

https://www.buddymath.com/g12/6?bmal=ru