12º ano
  1. Introdução à Álgebra  1.1. Matrizes  1.1.1. Definição e tipos de matrizes  1.1.2. Operações em matrizes  1.1.3. Transposição de uma matriz  1.1.4. Determinantes e suas propriedades  1.1.5. Inverso de uma matriz  1.1.6. Resolvendo equações lineares usando matrizes  1.1.7. Aplicações de matrizes  1.2. Números complexos  1.2.1. Definição e representação de números complexos  1.2.2. Compreendendo a álgebra dos números complexos  1.2.3. Módulo e argumento de números complexos  1.2.4. Introdução aos números complexos  1.2.5. Teorema de De Moivre  1.2.6. Raízes de números complexos  1.2.7. Aplicações em geometria  1.3. Vetores e geometria 3D  1.3.1. Álgebra vetorial  1.3.2. Produto escalar e vetorial  1.3.3. Equação de uma linha no espaço  1.3.4. Equação de um plano em vetores e geometria 3D  1.3.5. Distância entre retas e planos  1.3.6. Ângulo entre linhas e planos
  2. Cálculos  2.1. Limites e continuidade  2.1.1. O conceito de limites  2.1.2. Continuação das obras  2.1.3. Tipos de descontinuidade  2.1.4. Compreendendo as limitações da mão esquerda e da mão direita  2.2. Discriminação  2.2.1. Derivado como taxa de variação  2.2.2. Técnicas de diferenciação  2.2.3. Derivadas de ordem superior  2.2.4. Aplicações de derivadas  2.2.5. Tangente e normal  2.2.6. Funções crescentes e decrescentes  2.3. Integração  2.3.1. Integral indefinida  2.3.2. Integral definida  2.3.3. Técnicas de integração  2.3.4. Compreendendo a área sob a curva na integração  2.3.5. Aplicações de integrais em geometria  2.4. Equações Diferenciais  2.4.1. Formação de equações diferenciais  2.4.2. Ordem e grau de equações diferenciais  2.4.3. Soluções de equações diferenciais  2.4.4. Aplicações de equações diferenciais  2.4.5. Introdução às equações diferenciais lineares de primeira ordem
  3. Probabilidade e estatística  3.1. Compreendendo a Probabilidade  3.1.1. Compreendendo a probabilidade condicional  3.1.2. Teorema de Bayes  3.1.3. Compreendendo variáveis aleatórias em probabilidade e estatística  3.1.4. Distribuições de probabilidade  3.1.5. Distribuição binomial e normal  3.2. Figuras  3.2.1. Média e desvio padrão  3.2.2. Variância e covariância  3.2.3. Correlação e regressão  3.2.4. Compreendendo o teste de hipóteses em estatística
  4. Programação linear  4.1. Método gráfico em programação linear  4.1.1. Compreendendo regiões viáveis e inviáveis em programação linear  4.1.2. Solução ótima no método gráfico de programação linear  4.1.3. Análise de sensibilidade no método gráfico  4.2. Método Simplex  4.2.1. Formulação de problemas no método simplex  4.2.2. Resolvendo problemas de programação linear usando o método simplex  4.2.3. Método dual do simplex
  5. Relações e funções  5.1. Tipos de relações  5.1.1. Relação reflexiva  5.1.2. Relações simétricas  5.1.3. Compreendendo relações transitivas  5.1.4. Relação de equivalência  5.2. Tipos de tarefas  5.2.1. Função sobrejetora  5.2.2. Função um-para-um  5.2.3. Função inversa  5.2.4. Trabalho conjunto  5.3. Funções trigonométricas inversas  5.3.1. Valores principais em funções trigonométricas inversas  5.3.2. Propriedades e gráficos das funções trigonométricas inversas  5.3.3. Aplicações em cálculo
  6. Trigonometria avançada  6.1. Introdução às equações trigonométricas  6.1.1. Soluções gerais de equações em equações trigonométricas  6.1.2. Fórmula de transformação  6.2. Funções hiperbólicas  6.2.1. Definições e propriedades das funções hiperbólicas  6.2.2. Relação entre funções hiperbólicas e trigonométricas
  7. Lógica aritmética  7.1. Raciocínio lógico  7.1.1. Declarações e conectivos lógicos  7.1.2. Tautologia e contradição  7.2. Evidência  7.2.1. Evidência direta  7.2.2. Evidência indireta  7.2.3. Prova por contradição  7.2.4. Prova por indução matemática
  8. Aplicações da Matemática  8.1. Aplicações do cálculo  8.1.1. Problemas de máximo e mínimo  8.1.2. Aplicações de economia e biologia  8.1.3. Taxa de variação na física  8.2. Aplicações de Probabilidade  8.2.1. Análise de risco  8.2.2. Tomada de decisão em aplicações de probabilidade  8.2.3. Teoria dos jogos

12º ano ↓


Trigonometria avançada


Trigonometria é um ramo da matemática que estuda as relações envolvendo comprimentos de lados e ângulos de triângulos. Na trigonometria avançada, aprofundamos nas propriedades e aplicações das funções trigonométricas além das relações básicas dos triângulos retângulos.

Funções trigonométricas e suas definições

As funções trigonométricas elementares são seno (sen), cosseno (cos) e tangente (tan). Essas funções são tradicionalmente definidas como as razões dos lados de um triângulo retângulo:

sen(θ) = (frac{text{cateto oposto}}{text{hipotenusa}})
cos(θ) = (frac{text{cateto adjacente}}{text{hipotenusa}})
tan(θ) = (frac{text{cateto oposto}}{text{cateto adjacente}})

Os inversos dessas funções são cossecante (csc), secante (sec) e cotangente (cot):

csc(θ) = (frac{1}{sin(θ)})
sec(θ) = (frac{1}{cos(θ)})
cot(θ) = (frac{1}{tan(θ)})

Círculo unitário e medida em radianos

O círculo unitário é uma parte fundamental da trigonometria. É um círculo com raio um, centrado na origem do plano de coordenadas. Ângulos em radianos são uma maneira alternativa de medir ângulos, onde o ângulo é definido como o comprimento do arco que subtende o ângulo no centro de um círculo com raio um.

1 radiano é aproximadamente igual a 57.2958 graus. Um ângulo medido em radianos é dado por:

Ângulo (em radianos) = (frac{text{Comprimento do arco}}{text{Raio}})

1r=1θ

Identidades trigonométricas

Identidades trigonométricas são equações que são verdadeiras para qualquer valor da variável onde ambos os lados da equação são definidos. Essas identidades são úteis para simplificar expressões ou resolver equações.

  • Identidade de Pitágoras
    sen²(θ) + cos²(θ) = 1
    1 + tan²(θ) = sec²(θ)
    1 + cot²(θ) = csc²(θ)
  • Identidades de soma e diferença de ângulos
    sen(α ± β) = sen(α)cos(β) ± cos(α)sen(β)
    cos(α ± β) = cos(α)cos(β) ∓ sen(α)sen(β)
    tan(α ± β) = (frac{tan(α) ± tan(β)}{1 ∓ tan(α)tan(β)})

Exemplo: Provando uma identidade

Considere a identidade sen(2θ) = 2sen(θ)cos(θ).

  1. Comece com a identidade de soma de ângulos para seno: sen(α + β) = sen(α)cos(β) + cos(α)sen(β)
  2. Defina α = β = θ :
    3. sen(θ + θ) = sen(θ)cos(θ) + cos(θ)sen(θ)
  3. É simples: sen(2θ) = 2sen(θ)cos(θ)

Gráficos de funções trigonométricas

Os gráficos de funções trigonométricas são periódicos. Isso significa que eles repetem valores em intervalos regulares ou períodos. Compreender a forma básica desses gráficos ajuda a entender seu comportamento.

Gráficos de seno e cosseno

As funções seno e cosseno têm amplitudes (a altura de seus picos), períodos (o tempo que levam para começar a repetir) e fases (o deslocamento ao longo do eixo x).

XYCorda

Gráfico de tangente

A função tangente tem um período de π e possui assíntotas verticais, onde a função não está definida.

XYlinha tangente

Funções trigonométricas inversas

As funções trigonométricas inversas são usadas para encontrar o ângulo correspondente a uma determinada razão trigonométrica. Por exemplo, se sen(θ) = 0.5, então θ = sen -1 (0.5).

  • sen -1 (x) onde -1 ≤ x ≤ 1
  • cos -1 (x) para -1 ≤ x ≤ 1
  • tan -1 (x) para todos os números reais

Resolvendo equações trigonométricas

Resolver equações trigonométricas frequentemente envolve usar identidades e manipulação algébrica para encontrar os ângulos que satisfazem a equação.

Exemplo: Resolva 2sen(θ) - 1 = 0 para 0 ≤ θ < 2π

  1. Adicione 1 a ambos os lados:
    2sen(θ) = 1
  2. Divida por 2:
    sen(θ) = 0.5
  3. Encontre θ:
    θ = sen -1 (0.5)
  4. Solução possível: θ = (frac{π}{6}) ou (frac{5π}{6})

Aplicações da trigonometria

A trigonometria é amplamente utilizada em várias áreas, como física, engenharia, astronomia e arquitetura. Aqui estão algumas aplicações:

  • Física: Calculo de modelos de movimento de ondas, oscilações e fenômenos periódicos.
  • Engenharia: Projeto e análise de estruturas mecânicas, circuitos elétricos e processamento de sinais.
  • Astronomia: Medição de distâncias entre estrelas e compreensão da mecânica celeste.
  • Arquitetura: Projeto de telhados, pontes e outras estruturas que envolvem ângulos e distâncias.

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Trigonometria avançada

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