उन्नत त्रिकोणमिति

त्रिकोणमिति गणित की एक शाखा है जो त्रिभुजों के भुजाओं की लंबाई और कोणों के संबंध का अध्ययन करती है। उन्नत त्रिकोणमिति में, हम त्रिकोणमितीय फलनों के गुणों और अनुप्रयोगों का अध्ययन करते हैं जो कि मूलभूत समकोण त्रिभुज संबंधों से परे होते हैं।

त्रिकोणमितीय फलन और उनकी परिभाषाएँ

प्राथमिक त्रिकोणमितीय फलन साइन (sin), कोसाइन (cos), और टैन्जेंट (tan) हैं। ये फलन पारंपरिक रूप से समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के रूप में परिभाषित होते हैं:

sin(θ) = (frac{text{विपरीत}}{text{ कर्ण}})
cos(θ) = (frac{text{समीपवर्ती}}{text{ कर्ण}})
tan(θ) = (frac{text{विपरीत}}{text{समीपवर्ती}})

इन फलनों के विपरीत फलन कोसेकैंट (csc), सेकैंट (sec), और कोटैन्जेंट (cot) हैं:

csc(θ) = (frac{1}{sin(θ)})
sec(θ) = (frac{1}{cos(θ)})
cot(θ) = (frac{1}{tan(θ)})

यूनिट सर्कल और रेडियन माप

यूनिट सर्कल त्रिकोणमिति का एक मूलभूत हिस्सा है। यह एक वृत है जिसकी त्रिज्या एक होती है, और यह निर्देशांक तल में मूलबिंदु पर केंद्रित होता है। रेडियनों में कोणों का माप कोण मापने का एक वैकल्पिक तरीका है, जहां कोण परिमाण उस चाप की लंबाई होती है जो एक त्रिज्या वाले वृत के केंद्र पर कोण को अधिपत्र करता है।

1 रेडियन लगभग 57.2958 डिग्री के बराबर होता है। रेडियनों में मापा गया कोण निम्नलिखित होता है:

कोण (रेडियनों में) = (frac{text{चाप की लंबाई}}{text{त्रिज्या}})

त्रिकोणमितीय पहचानें

त्रिकोणमितीय पहचानें वे समीकरण हैं जो किसी भी उस चर के लिए सही होते हैं जहां समीकरण का दोनों पक्ष परिभाषित होते हैं। ये पहचानें अभिव्यक्तियों को सरल बनाने या समीकरणों को हल करने में सहायक होती हैं।

• पाइथागोरस पहचान
  sin²(θ) + cos²(θ) = 1
1 + tan²(θ) = sec²(θ)
1 + cot²(θ) = csc²(θ)
• कोण योग और अंतर पहचान
  sin(α ± β) = sin(α)cos(β) ± cos(α)sin(β)
cos(α ± β) = cos(α)cos(β) ∓ sin(α)sin(β)
tan(α ± β) = (frac{tan(α) ± tan(β)}{1 ∓ tan(α)tan(β)})

उदाहरण: पहचान सिद्ध करना

हम पहचान sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ) पर विचार करते हैं।

त्रिकोणमितीय फलनों का ग्राफ बनाना

त्रिकोणमितीय फलनों के ग्राफ आवर्ती होते हैं। इसका मतलब यह है कि वे नियमित अंतराल या कालांतर में मानों को दोहराते हैं। इन ग्राफों के मूलभूत आकार को समझना उनके व्यवहार को समझने में मदद करता है।

साइन और कोसाइन ग्राफ

साइन और कोसाइन फलनों की आवृत्तियां (उनकी चोटी की ऊंचाई), काल (समय की लंबाई जब तक वे दोहराना शुरू करते हैं), और चरण (x-अक्ष के साथ शिफ्ट) होती हैं।

टैन्जेंट ग्राफ

टैन्जेंट फलन की अवधि π होती है और इसमें वर्टिकल आसिम्पटोट होते हैं, जहां फलन अपरिभाषित होता है।

विलोम त्रिकोणमितीय फलन

विलोम त्रिकोणमितीय फलन उस कोण को खोजने के लिए उपयोग किए जाते हैं जो दिए गए त्रिकोणमितीय अनुपात के अनुरूप होता है। उदाहरण के लिए, यदि sin(θ) = 0.5, तो θ = sin -1 (0.5)।

• sin -1 (x) जहां -1 ≤ x ≤ 1
• cos -1 (x) के लिए -1 ≤ x ≤ 1
• tan -1 (x) सभी वास्तविक संख्याओं के लिए

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने में अक्सर पहचान और बीजगणितीय हेरफेर का उपयोग किया जाता है ताकि उन कोणों को खोजा जा सके जो समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

त्रिकोणमिति के अनुप्रयोग

त्रिकोणमिति का उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है, जैसे भौतिकी, इंजीनियरिंग, खगोल विज्ञान, और वास्तुकला। यहाँ कुछ अनुप्रयोग हैं:

• भौतिकी: तरंग गति, दोलन और अवधिगत घटनाओं के मॉडल बनाना।
• इंजीनियरिंग: यांत्रिक संरचनाओं, विद्युत परिपथों, और संकेत प्रसंस्करण का डिज़ाइन और विश्लेषण।
• खगोल विज्ञान: तारों के बीच की दूरी मापना और खगोलीय यांत्रिकी को समझना।
• वास्तुकला: छतों, पुलों और अन्य संरचनाओं को डिज़ाइन करना जिनमें कोण और दूरी शामिल होते हैं।

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