Grado 12
  1. Introducción al Álgebra  1.1. Matrices  1.1.1. Definición y tipos de matrices  1.1.2. Operaciones en matrices  1.1.3. Transposición de una matriz  1.1.4. Determinantes y sus propiedades  1.1.5. Inverso de una matriz  1.1.6. Resolución de ecuaciones lineales usando matrices  1.1.7. Aplicaciones de matrices  1.2. Números complejos  1.2.1. Definición y representación de números complejos  1.2.2. Comprensión del álgebra de los números complejos  1.2.3. Módulo y argumento de números complejos  1.2.4. Introducción a los números complejos  1.2.5. Teorema de De Moivre  1.2.6. Raíces de números complejos  1.2.7. Aplicaciones en geometría  1.3. Vectores y geometría 3D  1.3.1. Álgebra de vectores  1.3.2. Producto escalar y vectorial  1.3.3. Ecuación de una línea en el espacio  1.3.4. Ecuación de un plano en vectores y geometría 3D  1.3.5. Distancia entre líneas y planos  1.3.6. Ángulo entre líneas y planos
  2. Cálculos  2.1. Límites y continuidad  2.1.1. Concepto de Límites  2.1.2. Continuación de trabajos  2.1.3. Tipos de discontinuidad  2.1.4. Comprendiendo las limitaciones de la mano izquierda y derecha  2.2. Discriminación  2.2.1. Derivado como tasa de cambio  2.2.2. Técnicas de diferenciación  2.2.3. Derivadas de orden superior  2.2.4. Aplicaciones de las derivadas  2.2.5. Tangente y normal  2.2.6. Funciones crecientes y decrecientes  2.3. Integración  2.3.1. Integral indefinida  2.3.2. Integral definida  2.3.3. Técnicas de integración  2.3.4. Entendiendo el área bajo la curva en integración  2.3.5. Aplicaciones de las integrales en geometría  2.4. Ecuaciones diferenciales  2.4.1. Formación de ecuaciones diferenciales  2.4.2. Orden y grado de las ecuaciones diferenciales  2.4.3. Soluciones de ecuaciones diferenciales  2.4.4. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales  2.4.5. Introducción a las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
  3. Probabilidad y estadística  3.1. Entendiendo la Probabilidad  3.1.1. Comprendiendo la probabilidad condicional  3.1.2. Teorema de Bayes  3.1.3. Comprendiendo las variables aleatorias en probabilidad y estadísticas  3.1.4. Distribuciones de probabilidad  3.1.5. Distribución binomial y normal  3.2. Figuras  3.2.1. Media y desviación estándar  3.2.2. Varianza y covarianza  3.2.3. Correlación y regresión  3.2.4. Comprendiendo la prueba de hipótesis en estadística
  4. Programación lineal  4.1. Método gráfico en programación lineal  4.1.1. Comprendiendo las regiones factibles y no factibles en la programación lineal  4.1.2. Solución óptima en el método gráfico de programación lineal  4.1.3. Análisis de sensibilidad en el método gráfico  4.2. Método simplex  4.2.1. Formulación de problemas en el método del simplex  4.2.2. Resolviendo problemas de programación lineal usando el método simplex  4.2.3. Método del simplejo dual
  5. Relaciones y funciones  5.1. Tipos de relaciones  5.1.1. Relación reflexiva  5.1.2. Relaciones simétricas  5.1.3. Comprendiendo las relaciones transitivas  5.1.4. Relación de equivalencia  5.2. Tipos de tareas  5.2.1. Función sobreyectiva  5.2.2. Función uno a uno  5.2.3. Función inversa  5.2.4. Trabajo conjunto  5.3. Funciones trigonométricas inversas  5.3.1. Valores principales en funciones trigonométricas inversas  5.3.2. Propiedades y gráficos de funciones trigonométricas inversas  5.3.3. Aplicaciones en cálculo
  6. Trigonometría avanzada  6.1. Introducción a las ecuaciones trigonométricas  6.1.1. Soluciones generales de ecuaciones en ecuaciones trigonométricas  6.1.2. Fórmula de transformación  6.2. Funciones hiperbólicas  6.2.1. Definiciones y propiedades de las funciones hiperbólicas  6.2.2. Relación entre funciones hiperbólicas y trigonométricas
  7. Lógica aritmética  7.1. Razonamiento lógico  7.1.1. Declaraciones y conectores lógicos  7.1.2. Tautología y contradicción  7.2. Evidencia  7.2.1. Evidencia directa  7.2.2. Evidencia indirecta  7.2.3. Prueba por contradicción  7.2.4. Prueba por inducción matemática
  8. Aplicaciones de las Matemáticas  8.1. Aplicaciones del cálculo  8.1.1. Problemas de máximos y mínimos  8.1.2. Aplicaciones de la economía y la biología  8.1.3. Tasa de cambio en física  8.2. Aplicaciones de la Probabilidad  8.2.1. Análisis de riesgo  8.2.2. Toma de decisiones en aplicaciones de probabilidad  8.2.3. Teoría de juegos

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Trigonometría avanzada


La trigonometría es una rama de las matemáticas que estudia las relaciones que involucran longitudes de los lados y ángulos de los triángulos. En la trigonometría avanzada, profundizamos en las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonométricas más allá de las relaciones básicas del triángulo rectángulo.

Funciones trigonométricas y sus definiciones

Las funciones trigonométricas elementales son seno (sin), coseno (cos) y tangente (tan). Estas funciones se definen tradicionalmente como las razones de los lados de un triángulo rectángulo:

sin(θ) = (frac{text{opuesto}}{text{hipotenusa}})
cos(θ) = (frac{text{adyacente}}{text{hipotenusa}})
tan(θ) = (frac{text{opuesto}}{text{adyacente}})

Las inversas de estas funciones son cosecante (csc), secante (sec) y cotangente (cot):

csc(θ) = (frac{1}{sin(θ)})
sec(θ) = (frac{1}{cos(θ)})
cot(θ) = (frac{1}{tan(θ)})

Círculo unitario y medida en radianes

El círculo unitario es una parte fundamental de la trigonometría. Es un círculo con radio uno, centrado en el origen en el plano coordenado. Los ángulos en radianes son una forma alternativa de medir ángulos, donde el ángulo se define como la longitud del arco que subtiende el ángulo en el centro de un círculo con radio uno.

1 radián es aproximadamente igual a 57.2958 grados. Un ángulo medido en radianes se da por:

Ángulo (en radianes) = (frac{text{Longitud del arco}}{text{Radio}})

1r=1θ

Identidades trigonométricas

Las identidades trigonométricas son ecuaciones que son verdaderas para cualquier valor de la variable donde ambos lados de la ecuación están definidos. Estas identidades son útiles para simplificar expresiones o resolver ecuaciones.

  • Identidad pitagórica
    sin²(θ) + cos²(θ) = 1
    1 + tan²(θ) = sec²(θ)
    1 + cot²(θ) = csc²(θ)
  • Identidades de suma y diferencia de ángulos
    sin(α ± β) = sin(α)cos(β) ± cos(α)sin(β)
    cos(α ± β) = cos(α)cos(β) ∓ sin(α)sin(β)
    tan(α ± β) = (frac{tan(α) ± tan(β)}{1 ∓ tan(α)tan(β)})

Ejemplo: Demostrando una identidad

Consideremos la identidad sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ).

  1. Comienza con la identidad de suma de ángulos para el seno: sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β)
  2. Establezca α = β = θ :
    3. sin(θ + θ) = sin(θ)cos(θ) + cos(θ)sin(θ)
  3. Es simple: sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)

Graficación de funciones trigonométricas

Los gráficos de las funciones trigonométricas son periódicos. Esto significa que repiten valores a intervalos o períodos regulares. Comprender la forma básica de estos gráficos ayuda a entender su comportamiento.

Gráficos de seno y coseno

Las funciones seno y coseno tienen amplitudes (la altura de sus picos), períodos (la longitud de tiempo antes de que comiencen a repetirse) y fases (el desplazamiento a lo largo del eje x).

XYCuerda

Gráfico de tangente

La función tangente tiene un período de π y tiene asíntotas verticales, donde la función no está definida.

XYlínea tangente

Funciones trigonométricas inversas

Las funciones trigonométricas inversas se utilizan para encontrar el ángulo correspondiente a una razón trigonométrica dada. Por ejemplo, si sin(θ) = 0.5, entonces θ = sin -1 (0.5).

  • sin -1 (x) donde -1 ≤ x ≤ 1
  • cos -1 (x) para -1 ≤ x ≤ 1
  • tan -1 (x) para todos los números reales

Resolución de ecuaciones trigonométricas

Resolver ecuaciones trigonométricas a menudo involucra el uso de identidades y manipulaciones algebraicas para encontrar los ángulos que satisfacen la ecuación.

Ejemplo: Resuelva 2sin(θ) - 1 = 0 para 0 ≤ θ < 2π

  1. Agregue 1 a ambos lados:
    2sin(θ) = 1
  2. Divida entre 2:
    sin(θ) = 0.5
  3. Encuentre θ:
    θ = sin -1 (0.5)
  4. Posible solución: θ = (frac{π}{6}) o (frac{5π}{6})

Aplicaciones de la trigonometría

La trigonometría se usa ampliamente en varios campos como la física, la ingeniería, la astronomía y la arquitectura. Aquí hay algunas aplicaciones:

  • Física: Cálculo de modelos de movimiento ondulatorio, oscilaciones y fenómenos periódicos.
  • Ingeniería: Diseño y análisis de estructuras mecánicas, circuitos eléctricos y procesamiento de señales.
  • Astronomía: Medición de distancias entre estrellas y comprensión de la mecánica celeste.
  • Arquitectura: Diseño de techos, puentes y otras estructuras que involucran ángulos y distancias.

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Trigonometría avanzada

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