双曲函数

双曲函数是一组数学函数，它们与一般的三角或圆函数有些相似。这些函数在物理、工程和复分析的各种应用中都很重要。双曲函数包括双曲正弦（sinh）、双曲余弦（cosh）、双曲正切（tanh）、双曲余切（coth）、双曲正割（sech）和双曲余割（csch）。

双曲函数简介

就像三角函数与单位圆有关一样，双曲函数与双曲线有关，双曲线是一种圆锥曲线。这些函数的定义更像是指数定义，而不是周期函数。

双曲正弦： 
sinh(x) = (e^x - e^(-x)) / 2

双曲余弦： 
cosh(x) = (e^x + e^(-x)) / 2

双曲正切： 
tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)

双曲余切： 
coth(x) = cosh(x) / sinh(x)

双曲正割： 
sech(x) = 1 / cosh(x)

双曲余割： 
csh(x) = 1 / sinh(x)

双曲函数的可视化

为了更好理解这些函数，让我们可视化它们。以下是一个sinh图的例子：

类似地，下面是cosh的图：

推导双曲函数恒等式

就像三角恒等式一样，双曲函数也有关系式可以用来简化问题。双曲函数的最基本的恒等式之一是：

cosh²(x) - sinh²(x) = 1

这个恒等式可以通过指数定义推导出来：

证据：
cosh²(x) = (e^x + e^(-x))^2 / 4
cin²(x) = (e^x - e^(-x))^2 / 4

左边 = cosh²(x) - sinh²(x)
    = [(e^x + e^(-x))^2 - (e^x - e^(-x))^2] / 4
    = [e^{2x} + 2 + e^{-2x} - (e^{2x} - 2 + e^{-2x})] / 4
    = 1

因此，LH = RHS，恒等式成立。

文字示例

让我们通过例子练习使用双曲恒等式：

使用恒等式cosh²(x) - sinh²(x) = 1，该表达式变为：
cosh²(x) - sinh²(x) + sinh(x) cosh(x) = 1 + sinh(x) cosh(x)。
  

反双曲正弦函数定义为：
sinh⁻¹(y) = ln(y + sqrt(y² + 1))

因此，x = sinh⁻¹(2) = ln(2 + sqrt(4 + 1)) = ln(2 + sqrt(5))。
  

实际应用

双曲函数在应用数学的许多领域中出现。例如，它们描述了悬挂缆绳或链条的形状，称为悬链线。它们也自然地出现在某些微分方程和某些函数的积分中。

结论

双曲函数将三角恒等式的概念扩展到包括非周期函数，提供了分析的强大工具。它们与指数函数等基本函数的相似性使得它们可以解决物理和工程问题中的关键方程。理解它们的特性和应用是高级数学的必要组成部分。

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