Гиперболические функции

Гиперболические функции — это группа математических функций, которые несколько схожи с общими тригонометрическими или круговыми функциями. Эти функции необходимы в различных приложениях в физике, инженерии и комплексном анализе. Гиперболические функции включают гиперболический синус (sinh), гиперболический косинус (cosh), гиперболический тангенс (tanh), гиперболический котангенс (coth), гиперболический секанс (sech) и гиперболический косеканс (csch).

Введение в гиперболические функции

Так же, как тригонометрические функции связаны с единичной окружностью, гиперболические функции связаны с гиперболой, которая является видом конического сечения. Определения этих функций больше напоминают экспоненциальные определения, нежели периодические функции.

Гиперболический синус:
sinh(x) = (e^x - e^(-x)) / 2

Гиперболический косинус:
cosh(x) = (e^x + e^(-x)) / 2

Гиперболический тангенс:
tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)

Гиперболический котангенс:
coth(x) = cosh(x) / sinh(x)

Гиперболический секанс:
sech(x) = 1 / cosh(x)

Гиперболический косеканс:
csch(x) = 1 / sinh(x)

Визуализация гиперболической функции

Чтобы лучше понять эти функции, визуализируем их. Вот пример графика sinh:

Так же и график cosh представлен ниже:

Вывод гиперболической тождественности

Так же, как тригонометрические тождества, гиперболические функции также обладают связями, которые могут использоваться для упрощения задач. Одним из основных тождеств для гиперболических функций является:

cosh²(x) - sinh²(x) = 1

Это тождество может быть выведено из экспоненциальных определений:

доказательство:
cosh²(x) = (e^x + e^(-x))^2 / 4
sinh²(x) = (e^x - e^(-x))^2 / 4

Левая часть = cosh²(x) - sinh²(x)
    = [(e^x + e^(-x))^2 - (e^x - e^(-x))^2] / 4
    = [e^{2x} + 2 + e^{-2x} - (e^{2x} - 2 + e^{-2x})] / 4
    = 1

Таким образом, ЛП = ПП, тождество верно.

Текстовые примеры

Давайте попрактикуемся в применении гиперболических тождеств с примерами:

Используя тождество cosh²(x) - sinh²(x) = 1, выражение становится:
cosh²(x) - sinh²(x) + sinh(x) cosh(x) = 1 + sinh(x) cosh(x).
  

Обратная гиперболическая функция синуса определяется как:
sinh⁻¹(y) = ln(y + sqrt(y² + 1))

Таким образом, x = sinh⁻¹(2) = ln(2 + sqrt(4 + 1)) = ln(2 + sqrt(5)).
  

Практические применения

Гиперболические функции появляются во многих областях прикладной математики. Например, они описывают форму висячего кабеля или цепи, известной как цепная линия. Они также естественным образом возникают в некоторых дифференциальных уравнениях и при интегралах определенных функций.

Заключение

Гиперболические функции расширяют концепции тригонометрии, включая непериодические функции, предоставляя мощные инструменты для анализа. Их сходство с фундаментальными функциями, такими как экспоненциальная функция, позволяет им решать ключевые уравнения в задачах физики и инженерии. Понимание их свойств и применения является важной частью высшей математики.

комментарии