Funções hiperbólicas

Funções hiperbólicas são um grupo de funções matemáticas que são um tanto semelhantes às funções trigonométricas ou circulares gerais. Essas funções são essenciais em uma variedade de aplicações na física, engenharia e análise complexa. As funções hiperbólicas incluem seno hiperbólico (sinh), cosseno hiperbólico (cosh), tangente hiperbólica (tanh), cotangente hiperbólica (coth), secante hiperbólica (sech) e cosecante hiperbólica (csch).

Introdução às funções hiperbólicas

Assim como as funções trigonométricas estão relacionadas ao círculo unitário, as funções hiperbólicas estão relacionadas à hipérbole, que é um tipo de seção cônica. As definições dessas funções se assemelham a definições exponenciais em vez de funções periódicas.

Seno hiperbólico: 
sinh(x) = (e^x - e^(-x)) / 2

Cosseno hiperbólico: 
cosh(x) = (e^x + e^(-x)) / 2

Tangente hiperbólica: 
tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)

Cotangente hiperbólica: 
coth(x) = cosh(x) / sinh(x)

Secante hiperbólica: 
sech(x) = 1 / cosh(x)

Cosecante hiperbólica: 
csh(x) = 1 / sinh(x)

Visualizando uma função hiperbólica

Para entender melhor essas funções, vamos visualizá-las. Aqui está um exemplo de um gráfico de sinh:

Da mesma forma, o gráfico de cosh é dado abaixo:

Derivando a identidade hiperbólica

Assim como identidades trigonométricas, as funções hiperbólicas também têm relações que podem ser usadas para simplificar problemas. Uma das identidades mais básicas para funções hiperbólicas é:

cosh²(x) - sinh²(x) = 1

Essa identidade pode ser derivada das definições exponenciais:

evidência:
cosh²(x) = (e^x + e^(-x))^2 / 4
cin²(x) = (e^x - e^(-x))^2 / 4

Lado esquerdo = cosh²(x) - sinh²(x)
    = [(e^x + e^(-x))^2 - (e^x - e^(-x))^2] / 4
    = [e^{2x} + 2 + e^{-2x} - (e^{2x} - 2 + e^{-2x})] / 4
    = 1

Assim, LH = RHS, a identidade é verdadeira.

Exemplos textuais

Vamos praticar a aplicação de identidades hiperbólicas com exemplos:

Usando a identidade cosh²(x) - sinh²(x) = 1, a expressão torna-se:
cosh²(x) - sinh²(x) + sinh(x) cosh(x) = 1 + sinh(x) cosh(x).
  

A função inversa do seno hiperbólico é definida como:
sinh⁻¹(y) = ln(y + sqrt(y² + 1))

Portanto, x = sinh⁻¹(2) = ln(2 + sqrt(4 + 1)) = ln(2 + sqrt(5)).
  

Aplicações práticas

Funções hiperbólicas aparecem em muitas áreas da matemática aplicada. Por exemplo, elas descrevem a forma de um cabo ou corrente pendurada, conhecida como catenária. Elas também surgem naturalmente em algumas equações diferenciais e durante as integrais de certas funções.

Conclusão

Funções hiperbólicas estendem os conceitos de trigonometria para incluir funções não periódicas, fornecendo ferramentas poderosas para análise. Sua semelhança com funções fundamentais como a função exponencial permite que resolvam equações fundamentais em problemas de física e engenharia. Compreender suas propriedades e aplicações é uma parte essencial da matemática avançada.

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