双曲線関数

双曲線関数は、一般的な三角関数や円関数に多少似ている数学関数のグループです。これらの関数は、物理学、工学、複素解析の様々な応用において重要です。双曲線関数には、双曲線正弦関数 (sinh)、双曲線余弦関数 (cosh)、双曲線正接関数 (tanh)、双曲線余接関数 (coth)、双曲線正割関数 (sech)、および双曲線余割関数 (csch) が含まれます。

双曲線関数の導入

三角関数が単位円に関連しているように、双曲線関数は双曲線に関連しています。双曲線は円錐曲線の一種です。これらの関数の定義は周期関数よりもむしろ指数関数的な定義に似ています。

双曲線正弦関数: 
sinh(x) = (e^x - e^(-x)) / 2

双曲線余弦関数: 
cosh(x) = (e^x + e^(-x)) / 2

双曲線正接関数: 
tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)

双曲線余接関数: 
coth(x) = cosh(x) / sinh(x)

双曲線正割関数: 
sech(x) = 1 / cosh(x)

双曲線余割関数: 
csch(x) = 1 / sinh(x)

双曲線関数の視覚化

これらの関数をよりよく理解するために、視覚化してみましょう。ここにsinhグラフの例があります:

同様に、coshのグラフは以下の通りです:

双曲線の恒等式の導出

三角関数の恒等式と同様に、双曲線関数にも問題を簡素化するために使用できる関係があります。双曲線関数に関する最も基本的な恒等式の1つは次の通りです:

cosh²(x) - sinh²(x) = 1

この恒等式は指数関数的定義から導出できます:

証拠:
cosh²(x) = (e^x + e^(-x))^2 / 4
sinh²(x) = (e^x - e^(-x))^2 / 4

左辺 = cosh²(x) - sinh²(x)
    = [(e^x + e^(-x))^2 - (e^x - e^(-x))^2] / 4
    = [e^{2x} + 2 + e^{-2x} - (e^{2x} - 2 + e^{-2x})] / 4
    = 1

したがって、LH = RHS、恒等式は成り立ちます。

テキストの例

双曲線の恒等式を例題で適用して練習してみましょう:

恒等式 cosh²(x) - sinh²(x) = 1 を使用すると、式は次のようになります:
cosh²(x) - sinh²(x) + sinh(x) cosh(x) = 1 + sinh(x) cosh(x)。
  

逆双曲線正弦関数は次のように定義されます:
sinh⁻¹(y) = ln(y + sqrt(y² + 1))

したがって、x = sinh⁻¹(2) = ln(2 + sqrt(4 + 1)) = ln(2 + sqrt(5))。
  

実用的な応用

双曲線関数は応用数学の多くの分野で現れます。たとえば、つり下げたケーブルやチェーンの形状を示すカテナリーとして知られています。また、特定の関数の微分方程式や積分中に自然に現れます。

結論

双曲線関数は非周期関数を含む三角法の概念を拡張し、分析のための強力なツールを提供します。指数関数のような基本的な関数に似ているため、物理学や工学の問題における重要な方程式を解くことができます。その特性と応用を理解することは、高等数学の重要な部分です。

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