हाइपरबोलिक फलन

हाइपरबोलिक फलन गणितीय फलनों का एक समूह है जो सामान्य त्रिकोणमितीय या वृत्तीय फलनों के समान होते हैं। ये फलन भौतिकी, इंजीनियरिंग और जटिल विश्लेषण के विभिन्न अनुप्रयोगों में आवश्यक होते हैं। हाइपरबोलिक फलनों में हाइपरबोलिक साइन (sinh), हाइपरबोलिक कोसाइन (cosh), हाइपरबोलिक टैन्जेंट (tanh), हाइपरबोलिक कोटैन्जेंट (coth), हाइपरबोलिक सेकेंट (sech), और हाइपरबोलिक कोसकेकेंट (csch) शामिल होते हैं।

हाइपरबोलिक फलनों का परिचय

जैसे त्रिकोणमितीय फलन यूनिट वृत्त से संबंधित होते हैं, वैसे ही हाइपरबोलिक फलन हाइपरबोला से संबंधित होते हैं, जो एक प्रकार की शंक्वाकार होती है। इन फलनों की परिभाषाएँ घातीय परिभाषाओं के समान होती हैं न कि आवर्ती फलनों के।

हाइपरबोलिक साइन: 
sinh(x) = (e^x - e^(-x)) / 2

हाइपरबोलिक कोसाइन: 
cosh(x) = (e^x + e^(-x)) / 2

हाइपरबोलिक टैन्जेंट: 
tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)

हाइपरबोलिक कोटैन्जेंट: 
coth(x) = cosh(x) / sinh(x)

हाइपरबोलिक सेकेंट: 
sech(x) = 1 / cosh(x)

हाइपरबोलिक कोसकेकेंट: 
csch(x) = 1 / sinh(x)

हाइपरबोलिक फलन का दृष्टांत

इन फलनों को बेहतर समझने के लिए, आइए इन्हें देखें। यहाँ एक sinh ग्राफ का उदाहरण है:

इसी प्रकार, cosh का ग्राफ नीचे दिया गया है:

हाइपरबोलिक पहचान की व्युत्पत्ति

जैसे त्रिकोणमितीय पहचानों में होते हैं, वैसे ही हाइपरबोलिक फलनों के बीच कुछ संबंध होते हैं जो समस्याओं को सरल बनाने में इस्तेमाल हो सकते हैं। हाइपरबोलिक फलनों के लिए सबसे बुनियादी पहचान में से एक है:

cosh²(x) - sinh²(x) = 1

यह पहचान घातीय परिभाषाओं से व्युत्पन्न की जा सकती है:

प्रमाण:
cosh²(x) = (e^x + e^(-x))² / 4
sinh²(x) = (e^x - e^(-x))² / 4

बायां पक्ष = cosh²(x) - sinh²(x)
    = [(e^x + e^(-x))² - (e^x - e^(-x))²] / 4
    = [e^{2x} + 2 + e^{-2x} - (e^{2x} - 2 + e^{-2x})] / 4
    = 1

इस प्रकार, LH = RH, पहचान सत्य है।

पाठ्य उदाहरण

आइए हाइपरबोलिक पहचान का उपयोग करके कुछ अभ्यास करें:

पहचान cosh²(x) - sinh²(x) = 1 का उपयोग करने पर, व्यंजक बन जाता है:
cosh²(x) - sinh²(x) + sinh(x) cosh(x) = 1 + sinh(x) cosh(x).
  

व्युत्क्रम हाइपरबोलिक साइन फलन को परिभाषित किया गया है:
sinh⁻¹(y) = ln(y + sqrt(y² + 1))

इसलिए, x = sinh⁻¹(2) = ln(2 + sqrt(4 + 1)) = ln(2 + sqrt(5)).
  

व्यावहारिक अनुप्रयोग

हाइपरबोलिक फलन कई प्रयुक्त गणित के क्षेत्रों में दिखाई देते हैं। उदाहरण के लिए, वे एक लटकी हुई केबल या श्रृंखला के आकार का वर्णन करते हैं, जिसे कैटेनेरी कहा जाता है। वे कुछ अवकल समीकरणों और कुछ फलनों के समाकलों के दौरान स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होते हैं।

निष्कर्ष

हाइपरबोलिक फलन त्रिकोणमिति की अवधारणाओं का विस्तार करते हैं ताकि गैर-आवर्ती फलनों को शामिल किया जा सके, जो विश्लेषण के लिए शक्तिशाली उपकरण प्रदान करते हैं। उनकी मौलिक फलनों जैसे घातीय फलन के साथ समानता उन्हें भौतिकी और इंजीनियरिंग समस्याओं में महत्वपूर्ण समीकरणों को हल करने की अनुमति देती है। उनके गुणधर्म और अनुप्रयोगों की समझ उन्नत गणित का एक आवश्यक हिस्सा है।

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