Grado 12
  1. Introducción al Álgebra  1.1. Matrices  1.1.1. Definición y tipos de matrices  1.1.2. Operaciones en matrices  1.1.3. Transposición de una matriz  1.1.4. Determinantes y sus propiedades  1.1.5. Inverso de una matriz  1.1.6. Resolución de ecuaciones lineales usando matrices  1.1.7. Aplicaciones de matrices  1.2. Números complejos  1.2.1. Definición y representación de números complejos  1.2.2. Comprensión del álgebra de los números complejos  1.2.3. Módulo y argumento de números complejos  1.2.4. Introducción a los números complejos  1.2.5. Teorema de De Moivre  1.2.6. Raíces de números complejos  1.2.7. Aplicaciones en geometría  1.3. Vectores y geometría 3D  1.3.1. Álgebra de vectores  1.3.2. Producto escalar y vectorial  1.3.3. Ecuación de una línea en el espacio  1.3.4. Ecuación de un plano en vectores y geometría 3D  1.3.5. Distancia entre líneas y planos  1.3.6. Ángulo entre líneas y planos
  2. Cálculos  2.1. Límites y continuidad  2.1.1. Concepto de Límites  2.1.2. Continuación de trabajos  2.1.3. Tipos de discontinuidad  2.1.4. Comprendiendo las limitaciones de la mano izquierda y derecha  2.2. Discriminación  2.2.1. Derivado como tasa de cambio  2.2.2. Técnicas de diferenciación  2.2.3. Derivadas de orden superior  2.2.4. Aplicaciones de las derivadas  2.2.5. Tangente y normal  2.2.6. Funciones crecientes y decrecientes  2.3. Integración  2.3.1. Integral indefinida  2.3.2. Integral definida  2.3.3. Técnicas de integración  2.3.4. Entendiendo el área bajo la curva en integración  2.3.5. Aplicaciones de las integrales en geometría  2.4. Ecuaciones diferenciales  2.4.1. Formación de ecuaciones diferenciales  2.4.2. Orden y grado de las ecuaciones diferenciales  2.4.3. Soluciones de ecuaciones diferenciales  2.4.4. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales  2.4.5. Introducción a las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
  3. Probabilidad y estadística  3.1. Entendiendo la Probabilidad  3.1.1. Comprendiendo la probabilidad condicional  3.1.2. Teorema de Bayes  3.1.3. Comprendiendo las variables aleatorias en probabilidad y estadísticas  3.1.4. Distribuciones de probabilidad  3.1.5. Distribución binomial y normal  3.2. Figuras  3.2.1. Media y desviación estándar  3.2.2. Varianza y covarianza  3.2.3. Correlación y regresión  3.2.4. Comprendiendo la prueba de hipótesis en estadística
  4. Programación lineal  4.1. Método gráfico en programación lineal  4.1.1. Comprendiendo las regiones factibles y no factibles en la programación lineal  4.1.2. Solución óptima en el método gráfico de programación lineal  4.1.3. Análisis de sensibilidad en el método gráfico  4.2. Método simplex  4.2.1. Formulación de problemas en el método del simplex  4.2.2. Resolviendo problemas de programación lineal usando el método simplex  4.2.3. Método del simplejo dual
  5. Relaciones y funciones  5.1. Tipos de relaciones  5.1.1. Relación reflexiva  5.1.2. Relaciones simétricas  5.1.3. Comprendiendo las relaciones transitivas  5.1.4. Relación de equivalencia  5.2. Tipos de tareas  5.2.1. Función sobreyectiva  5.2.2. Función uno a uno  5.2.3. Función inversa  5.2.4. Trabajo conjunto  5.3. Funciones trigonométricas inversas  5.3.1. Valores principales en funciones trigonométricas inversas  5.3.2. Propiedades y gráficos de funciones trigonométricas inversas  5.3.3. Aplicaciones en cálculo
  6. Trigonometría avanzada  6.1. Introducción a las ecuaciones trigonométricas  6.1.1. Soluciones generales de ecuaciones en ecuaciones trigonométricas  6.1.2. Fórmula de transformación  6.2. Funciones hiperbólicas  6.2.1. Definiciones y propiedades de las funciones hiperbólicas  6.2.2. Relación entre funciones hiperbólicas y trigonométricas
  7. Lógica aritmética  7.1. Razonamiento lógico  7.1.1. Declaraciones y conectores lógicos  7.1.2. Tautología y contradicción  7.2. Evidencia  7.2.1. Evidencia directa  7.2.2. Evidencia indirecta  7.2.3. Prueba por contradicción  7.2.4. Prueba por inducción matemática
  8. Aplicaciones de las Matemáticas  8.1. Aplicaciones del cálculo  8.1.1. Problemas de máximos y mínimos  8.1.2. Aplicaciones de la economía y la biología  8.1.3. Tasa de cambio en física  8.2. Aplicaciones de la Probabilidad  8.2.1. Análisis de riesgo  8.2.2. Toma de decisiones en aplicaciones de probabilidad  8.2.3. Teoría de juegos

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Funciones hiperbólicas


Las funciones hiperbólicas son un grupo de funciones matemáticas que son algo similares a las funciones trigonométricas o circulares generales. Estas funciones son esenciales en una variedad de aplicaciones en física, ingeniería y análisis complejo. Las funciones hiperbólicas incluyen seno hiperbólico (sinh), coseno hiperbólico (cosh), tangente hiperbólica (tanh), cotangente hiperbólica (coth), secante hiperbólica (sech) y cosecante hiperbólica (csch).

Introducción a las funciones hiperbólicas

Así como las funciones trigonométricas están relacionadas con el círculo unitario, las funciones hiperbólicas están relacionadas con la hipérbola, que es un tipo de sección cónica. Las definiciones de estas funciones se asemejan más a las definiciones exponenciales que a las funciones periódicas.

Seno hiperbólico: 
sinh(x) = (e^x - e^(-x)) / 2

Coseno hiperbólico: 
cosh(x) = (e^x + e^(-x)) / 2

Tangente hiperbólica: 
tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)

Cotangente hiperbólica: 
coth(x) = cosh(x) / sinh(x)

Secante hiperbólica: 
sech(x) = 1 / cosh(x)

Cosecante hiperbólica: 
csh(x) = 1 / sinh(x)

Visualización de una función hiperbólica

Para comprender mejor estas funciones, vamos a visualizarlas. Aquí hay un ejemplo de un gráfico de sinh:

De manera similar, el gráfico de cosh se muestra a continuación:

Derivación de la identidad hiperbólica

Al igual que las identidades trigonométricas, las funciones hiperbólicas también tienen relaciones que pueden usarse para simplificar problemas. Una de las identidades más básicas para las funciones hiperbólicas es:

cosh²(x) - sinh²(x) = 1

Esta identidad puede derivarse de las definiciones exponenciales:

evidencia:
cosh²(x) = (e^x + e^(-x))^2 / 4
cin²(x) = (e^x - e^(-x))^2 / 4

Lado izquierdo = cosh²(x) - sinh²(x)
    = [(e^x + e^(-x))^2 - (e^x - e^(-x))^2] / 4
    = [e^{2x} + 2 + e^{-2x} - (e^{2x} - 2 + e^{-2x})] / 4
    = 1

Por lo tanto, LH = RHS, la identidad es verdadera.

Ejemplos textuales

Practicamos la aplicación de identidades hiperbólicas con ejemplos:

Ejemplo 1: Simplifique la expresión cosh²(x) - sinh²(x) + sinh(x) cosh(x). 
Usando la identidad cosh²(x) - sinh²(x) = 1, la expresión se convierte en:
cosh²(x) - sinh²(x) + sinh(x) cosh(x) = 1 + sinh(x) cosh(x).
Ejemplo 2: Resuelva sinh(x) = 2. 
La función inversa del seno hiperbólico se define como:
sinh⁻¹(y) = ln(y + sqrt(y² + 1))

Por lo tanto, x = sinh⁻¹(2) = ln(2 + sqrt(4 + 1)) = ln(2 + sqrt(5)).

Aplicaciones prácticas

Las funciones hiperbólicas aparecen en muchas áreas de las matemáticas aplicadas. Por ejemplo, describen la forma de un cable o cadena colgante, conocido como catenaria. También surgen naturalmente en algunas ecuaciones diferenciales y durante las integrales de ciertas funciones.

Ejemplo 3: Catenaria

Una cadena o cable flexible que cuelga por sus extremos bajo la fuerza de la gravedad forma una catenaria.

Las ecuaciones son usualmente así:

y = a cosh(x/a)

donde a es una constante que representa la tensión horizontal.

Conclusión

Las funciones hiperbólicas extienden los conceptos de la trigonometría para incluir funciones no periódicas, proporcionando herramientas poderosas para el análisis. Su similitud con funciones fundamentales como la exponencial les permite resolver ecuaciones clave en problemas de física e ingeniería. Comprender sus propiedades y aplicaciones es una parte esencial de las matemáticas avanzadas.


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