Определения и свойства гиперболических функций

В математике гиперболические функции аналогичны обычным тригонометрическим функциям, но они основаны на гиперболах, а не на кругах. Гиперболические функции известны как sinh, cosh, tanh, coth, sech и csch. Эти функции находят применение в различных областях, включая исчисление, комплексные числа и решение определенных типов дифференциальных уравнений, а также в описании форм, таких как цепная линия.

Определение гиперболической функции

Давайте начнем с определений гиперболического синуса (sinh) и гиперболического косинуса (cosh):

sinh(x) = ( e x - e -x ) / 2
cosh(x) = (e x + e -x ) / 2

где e — это основание натурального логарифма, которое приблизительно равно 2.71828.

Гиперболический тангенс (tanh) и гиперболический котангенс (coth) определяются как:

tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)
coth(x) = cosh(x) / sinh(x)

Далее мы имеем гиперболический секанс (sech) и гиперболический косеканс (csch):

sech(x) = 1 / cosh(x)
csch(x) = 1 / sinh(x)

Графическое представление

Гиперболический синус и косинус

Вышеприведенная SVG — это простое представление, которое показывает, как функции sinh и cosh ведут себя для положительных и отрицательных значений x.

Свойства и формулы

Свойства гиперболических функций аналогичны свойствам тригонометрических функций. Ниже приведены некоторые важные соотношения:

Основная идентичность

cosh²(x) - sinh²(x) = 1

Эта идентичность похожа на тригонометрическую идентичность Пифагора.

Производные

Производные гиперболических функций просты и очень похожи на производные обычных тригонометрических функций:

d/dx [sinh(x)] = cosh(x)
d/dx [cosh(x)] = sinh(x)
d/dx [tanh(x)] = sech²(x)
d/dx [coth(x)] = -csch²(x)
d/dx [sech(x)] = -sech(x) * tanh(x)
d/dx [csch(x)] = -csch(x) * coth(x)

Интегралы

Интегралы, включающие гиперболические функции, также являются простыми и имеют следующий вид:

∫ sinh(x) dx = cosh(x) + C
∫ cosh(x) dx = sinh(x) + C
∫ sech²(x) dx = tanh(x) + C
∫ csch²(x) dx = -coth(x) + C
∫ sech(x) * tanh(x) dx = -sech(x) + C
∫ csch(x) * coth(x) dx = -csch(x) + C

Здесь C обозначает константу интегрирования.

Примеры и приложения

Гиперболические функции естественным образом появляются в различных математических контекстах. Рассмотрим несколько практических контекстов и примеров, где эти функции распространены:

Пример 1: Гиперболическое уравнение

В исчислении можно встретить уравнения, включающие sinh и cosh, такие как решение гиперболического уравнения:

cosh²(x) - sinh²(x) = 1

Используя свойства гиперболических функций, мы можем выводить дальнейшие соотношения и проверять решения сложных задач по исчислению.

Пример 2: Реальные структуры

Форма висячего кабеля, такого как кабель, расположенный между опорами в подвесном мосте, образует кривую, известную как цепная линия, которую можно описать гиперболической функцией. Формула, представляющая цепную линию, такова:

y = a * cosh(x/a)

В этой формуле a является константой и может представлять действие натяжения или гравитации.

Обратные гиперболические функции

Подобно обратным тригонометрическим функциям, каждая гиперболическая функция имеет обратную:

sinh -1 (x) = ln(x + sqrt(x² + 1))
cosh -1 (x) = ln(x + sqrt(x² - 1)), где x ≥ 1
tanh -1 (x) = (1/2)ln((1 + x)/(1 - x)), для -1 < x < 1
coth -1 (x) = (1/2)ln((x + 1)/(x - 1)), для x > 1 или x < -1
sech -1 (x) = ln((1 + sqrt(1 - x²))/x), для 0 < x ≤ 1
csch -1 (x) = ln((1/x) + sqrt((1/x)² + 1)), где x ≠ 0

Обратные гиперболические функции используются в интеграции и решении гиперболических дифференциальных уравнений, которые часто встречаются в проблемах физики и инженерии, связанных с гиперболической геометрией.

Исторический контекст и использование

Исторически гиперболические функции были сформулированы математиками Винченцо Риккати и Иоганном Ламбертом в XVIII веке. Они определили эти функции по аналогии с круговыми тригонометрическими функциями, и с тех пор они были широко использованы в различных математических и теоретических контекстах физики.

Гиперболические функции предоставляют мощный инструмент моделирования сценариев, в которых линейное решение не является осуществимым, включая тепловой анализ и распространение волн и колебаний.

Заключение

Короче говоря, гиперболические функции занимают центральное место во многих математических областях. С четкими определениями и легко узнаваемыми свойствами они предоставляют захватывающие аналогии со стандартными тригонометрическими функциями. Понимание этих функций открывает путь к решению сложных дифференциальных и интегральных уравнений, делая их незаменимыми в высшей математике и ее приложениях в физике, инженерии и за ее пределами.

комментарии