Definições e propriedades das funções hiperbólicas

Em matemática, as funções hiperbólicas são análogas às funções trigonométricas usuais, mas são baseadas em hipérboles em vez de círculos. As funções hiperbólicas são conhecidas como sinh, cosh, tanh, coth, sech e csch. Essas funções têm aplicações em uma variedade de áreas, incluindo cálculo, números complexos e resolução de certos tipos de equações diferenciais, bem como na descrição de formas como a catenária.

Definição de função hiperbólica

Vamos começar com as definições das funções seno hiperbólico (sinh) e cosseno hiperbólico (cosh):

sinh(x) = ( e x - e -x ) / 2
cosh(x) = (e x + e -x ) / 2

onde e é a base do logaritmo natural, que é aproximadamente igual a 2.71828.

A tangente hiperbólica (tanh) e cotangente hiperbólica (coth) são definidas como:

tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)
coth(x) = cosh(x) / sinh(x)

A seguir, temos a secante hiperbólica (sech) e a cossecante hiperbólica (csh):

sech(x) = 1 / cosh(x)
csh(x) = 1 / sinh(x)

Representação gráfica

Seno hiperbólico e cosseno

O SVG acima é uma representação simples que mostra como as funções sinh e cosh se comportam para valores positivos e negativos de x.

Propriedades e fórmulas

As propriedades das funções hiperbólicas são semelhantes às das funções trigonométricas. Abaixo estão alguns relacionamentos importantes:

Identidade original

cosh²(x) - sinh²(x) = 1

Essa identidade é semelhante à identidade pitagórica para funções trigonométricas.

Derivadas

As derivadas das funções hiperbólicas são simples e muito semelhantes às derivadas das funções trigonométricas comuns:

d/dx [sinh(x)] = cosh(x)
d/dx [cosh(x)] = sinh(x)
d/dx [tanh(x)] = sech2(x)
d/dx [coth(x)] = -csch²(x)
d/dx [sech(x)] = -sech(x) * tanh(x)
d/dx [csch(x)] = -csch(x) * coth(x)

Integrais

Integrais envolvendo funções hiperbólicas são igualmente diretas e assumem a forma simples:

∫ sinh(x) dx = cosh(x) + c
∫ cosh(x) dx = sinh(x) + c
∫ sec²(x) dx = tanh(x) + C
∫ csch²(x) dx = -coth(x) + C
∫ sec(x) * tanh(x) dx = -sec(x) + C
∫ csch(x) * coth(x) dx = -csch(x) + C

Aqui, C representa a constante de integração.

Exemplos e aplicações

As funções hiperbólicas surgem naturalmente em uma variedade de contextos matemáticos. Vejamos alguns contextos e exemplos práticos onde essas funções são prevalentes:

Exemplo 1: Equação hiperbólica

No cálculo, pode-se encontrar equações envolvendo sinh e cosh, como a solução de uma equação hiperbólica:

cosh²(x) - sinh²(x) = 1

Usando as propriedades das funções hiperbólicas, podemos derivar relações adicionais e verificar soluções para problemas complexos de cálculo.

Exemplo 2: Estruturas do mundo real

A forma de um cabo suspenso, como o cabo encontrado entre suportes em uma ponte suspensa, forma uma curva conhecida como catenária, que pode ser descrita usando uma função hiperbólica. A fórmula que representa a catenária é:

y = a * cosh(x/a)

Nesta fórmula, a é uma constante e pode representar o efeito da tensão ou da gravidade.

Função hiperbólica inversa

Semelhante às funções trigonométricas inversas, todas as funções hiperbólicas têm um inverso:

sinh -1 (x) = ln(x + sqrt(x² + 1))
cosh -1 (x) = ln(x + sqrt(x² - 1)), where x ≥ 1
tanh -1 (x) = (1/2)ln((1 + x)/(1 - x)), for -1 < x < 1
coth -1 (x) = (1/2)ln((x + 1)/(x - 1)), for x > 1 or x < -1
sec -1 (x) = ln((1 + sqrt(1 - x²))/x), for 0 < x ≤ 1
csch -1 (x) = ln((1/x) + sqrt((1/x)² + 1)), where x ≠ 0

Funções hiperbólicas inversas são usadas na integração e solução de equações diferenciais hiperbólicas, que surgem frequentemente em problemas de física e engenharia envolvendo geometria hiperbólica.

Contexto histórico e uso

Historicamente, as funções hiperbólicas foram formuladas pelos matemáticos Vincenzo Riccati e Johann Lambert no século 18. Eles determinaram essas funções por analogia com as funções trigonométricas circulares e desde então têm sido amplamente utilizadas em uma variedade de contextos matemáticos e de física teórica.

As funções hiperbólicas fornecem uma poderosa ferramenta na modelagem de cenários onde a solução linear não é viável, incluindo análise térmica e a propagação de ondas e oscilações.

Conclusão

Em suma, as funções hiperbólicas são centrais em muitos domínios matemáticos. Com definições claras e propriedades facilmente reconhecíveis, elas fornecem analogias fascinantes para as funções trigonométricas padrão. Compreender essas funções abre o caminho para a resolução de equações diferenciais e integrais complexas, tornando-as indispensáveis na matemática avançada e suas aplicações em física, engenharia e além.

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