हाइपरबोलिक फलनों की परिभाषाएँ और गुण

गणित में, हाइपरबोलिक फलन सामान्य त्रिकोणमितीय फलनों के समान होते हैं, लेकिन वे वृत्तों के बजाय हाइपरबोलास पर आधारित होते हैं। हाइपरबोलिक फलनों को sinh, cosh, tanh, coth, sech और csch के रूप में जाना जाता है। इन फलनों का उपयोग कई क्षेत्रों में किया जाता है, जिसमें कलन, जटिल संख्याओं और कुछ प्रकार के अवकल समीकरणों को हल करना शामिल है, साथ ही ऐसे आकारों का वर्णन करना जैसे कटेनरी।

हाइपरबोलिक फलन की परिभाषा

आइए हाइपरबोलिक साइन (sinh) और हाइपरबोलिक कोसाइन (cosh) फलनों की परिभाषा से शुरू करें:

sinh(x) = ( e x - e -x ) / 2
cosh(x) = (e x + e -x ) / 2

जहाँ e प्राकृतिक लघुगणक का आधार है, जो लगभग 2.71828 के बराबर है।

हाइपरबोलिक टैन्जेंट (tanh) और हाइपरबोलिक कोटैन्जेंट (coth) इस प्रकार परिभाषित होते हैं:

tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)
coth(x) = cosh(x) / sinh(x)

इसके बाद, हमारे पास हाइपरबोलिक सेकेंट (sech) और हाइपरबोलिक कोसैकेंट (csch) होते हैं:

sech(x) = 1 / cosh(x)
csch(x) = 1 / sinh(x)

रेखीय चित्रण

हाइपरबोलिक साइन और कोसाइन

उपरोक्त SVG एक साधारण चित्रण है जो दिखाता है कि sinh और cosh फलन x के धनात्मक और ऋणात्मक मानों के लिए कैसे व्यवहार करते हैं।

गुण और सूत्र

हाइपरबोलिक फलनों के गुण त्रिकोणमितीय फलनों के समान होते हैं। नीचे कुछ महत्वपूर्ण संबंध दिए गए हैं:

मूल पहचान

cosh²(x) - sinh²(x) = 1

यह पहचान त्रिकोणमितीय फलनों के लिए पाइथागोरस की पहचान के समान है।

अवकलज

हाइपरबोलिक फलनों के अवकलज साधारण त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलजों के बहुत ही समान होते हैं:

d/dx [sinh(x)] = cosh(x)
d/dx [cosh(x)] = sinh(x)
d/dx [tanh(x)] = sech²(x)
d/dx [coth(x)] = -csch²(x)
d/dx [sech(x)] = -sech(x) * tanh(x)
d/dx [csch(x)] = -csch(x) * coth(x)

अन्तःकरण

हाइपरबोलिक फलनों संबंधी अन्तःकरण सहज होते हैं, और सीधे रूप लेते हैं:

∫ sinh(x) dx = cosh(x) + c
∫ cosh(x) dx = sinh(x) + c
∫ sec²(x)dx = tanh(x) + C
∫ csch²(x) dx = -coth(x) + C
∫ sec(x) * tanh(x) dx = -sec(x) + C
∫ csch(x) * coth(x) dx = -csch(x) + C

यहां, C निश्चित अन्तःकरण निरंतरता को दर्शाता है।

उदाहरण और अनुप्रयोग

हाइपरबोलिक फलन विभिन्न गणितीय संदर्भों में स्वाभाविक रूप से उभरते हैं। आइए कुछ व्यावहारिक संदर्भों और उदाहरणों पर नज़र डालें जहां ये फलन प्रमुख हैं:

उदाहरण 1: हाइपरबोलिक समीकरण

कलन में आप कभी-कभी sinh और cosh को शामिल करने वाले समीकरणों का सामना कर सकते हैं, जैसे कि एक हाइपरबोलिक समीकरण को हल करना:

cosh²(x) - sinh²(x) = 1

हाइपरबोलिक फलनों के गुणों का उपयोग करके, हम आगे के संबंध प्राप्त कर सकते हैं और जटिल कलन समस्याओं के समाधान सत्यापित कर सकते हैं।

उदाहरण 2: वास्तविक दुनिया की संरचनाएँ

एक लटकी हुई केबल का आकार, जैसे कि एक निलंबन पुल के समर्थन के बीच की केबल, एक वक्र का निर्माण करता है जिसे एक कटेनरी के रूप में वर्णित किया जा सकता है, जिसे एक हाइपरबोलिक फलन का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है। वह सूत्र जो कटेनरी को दर्शाता है:

y = a * cosh(x/a)

इस सूत्र में, a एक स्थिरांक होता है और यह तनाव या गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव को दर्शा सकता है।

इन्वर्स हाइपरबोलिक फलन

त्रिकोणमितीय फलनों के इन्वर्स के समान, हर हाइपरबोलिक फलन का एक इन्वर्स होता है:

sinh -1(x) = ln(x + sqrt(x² + 1))
cosh -1(x) = ln(x + sqrt(x² - 1)), जहाँ x ≥ 1
tanh -1(x) = (1/2)ln((1 + x)/(1 - x)), जहाँ -1 < x < 1
coth -1(x) = (1/2)ln((x + 1)/(x - 1)), जहाँ x > 1 या x < -1
secs -1(x) = ln((1 + sqrt(1 - x²))/x), जहाँ 0 < x ≤ 1
csch -1(x) = ln((1/x) + sqrt((1/x)² + 1)), जहाँ x ≠ 0

अवकलन और हाइपरबोलिक अवकल समीकरणों के समाधान में इनवर्स हाइपरबोलिक फलनों का उपयोग किया जाता है, जो भौतिकी और इंजीनियरिंग में अक्सर हाइपरबोलिक ज्यामिति को शामिल करने वाली समस्याओं में उत्पन्न होते हैं।

ऐतिहासिक संदर्भ और उपयोग

ऐतिहासिक रूप से, हाइपरबोलिक फलन 18वीं सदी में गणितज्ञों विन्सेंजो रिक्काटी और जेहान लैंबर्ट द्वारा तैयार किए गए थे। उन्होंने इन फलनों को वृत्तीय त्रिकोणमितीय फलनों के अनुरूप निर्धारित किया और तब से इनका विविध गणितीय और सैद्धांतिक भौतिकी संदर्भों में व्यापक उपयोग हुआ है।

हाइपरबोलिक फलन ऐसे परिदृश्यों में मॉडलिंग के लिए एक शक्तिशाली उपकरण प्रदान करते हैं जहाँ रैखिक समाधान व्यावहारिक नहीं होता है, जिसमें तापीय विश्लेषण और तरंगों और दोलनों का प्रसार शामिल है।

निष्कर्ष

संक्षेप में, हाइपरबोलिक फलन कई गणितीय क्षेत्रों में केंद्रीय हैं। स्पष्ट परिभाषाओं और आसानी से पहचाने जाने वाले गुणों के साथ, वे मानक त्रिकोणमितीय फलनों के लिए आकर्षक अनुलग्नित प्रदान करते हैं। इन फलनों को समझना जटिल अवकल और अंतर समीकरणों को हल करने का मार्ग प्रशस्त करता है, जिससे वे उन्नत गणित और भौतिकी, इंजीनियरिंग, और अन्य क्षेत्रों में अनुप्रयोग के लिए अपरिहार्य बन जाते हैं।

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