Формула преобразования

В продвинутой тригонометрии формулы преобразования относятся к группе идентичностей, которые позволяют выражениям, содержащим тригонометрические функции, изменяться на другие формы. Эти преобразования особенно полезны для упрощения тригонометрических уравнений и решения тригонометрических задач. Основные формулы преобразования в тригонометрии включают формулы для суммы, разности, удвоенных углов и половинных углов. Здесь мы рассмотрим каждую из них подробно, с примерами и визуальными представлениями для облегчения понимания.

Идентичности суммы и разности

Идентичности суммы и разности позволяют выразить тригонометрические функции суммы или разности углов как произведение тригонометрических функций индивидуальных углов. Эти идентичности чрезвычайно полезны для упрощения сложных тригонометрических уравнений.

Идентичности суммы и разности синусов

Синус суммы двух углов можно выразить так:

sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

Синус разности двух углов можно выразить так:

sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)

Идентичности суммы и разности косинусов

Косинус суммы двух углов можно выразить так:

cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)

Косинус разности двух углов можно выразить так:

cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)

Идентичности суммы и разности тангенсов

Тангенс суммы двух углов можно выразить так:

tan(a + b) = (tan(a) + tan(b)) / (1 - tan(a)tan(b))

Тангенс разности двух углов можно выразить так:

tan(a - b) = (tan(a) - tan(b)) / (1 + tan(a)tan(b))

Идентичность удвоенного угла

Идентичности удвоенных углов используются для выражения тригонометрических функций удвоенных углов в терминах функций одиночных углов. Эти идентичности помогают в решении уравнений, где угол удваивается.

Формулы удвоенного угла для синуса и косинуса

Для синуса идентичность удвоенного угла:

sin(2a) = 2sin(a)cos(a)

Для косинуса существует три версии идентичностей удвоенного угла:

cos(2a) = cos²(a) - sin²(a)

cos(2a) = 2cos²(a) - 1

cos(2a) = 1 - 2sin²(a)

Формула удвоенного угла для тангенса

Для тангенса идентичность удвоенного угла:

tan(2a) = 2tan(a) / (1 - tan²(a))

Идентичности половинного угла

Идентичности половинных углов используются при решении тригонометрических уравнений, где угол вдвое уменьшается. Они выводятся из идентичностей удвоенного угла и полезны для нахождения значений тригонометрических функций при половинных углах.

Формулы половинного угла для синуса и косинуса

Для синуса идентичность половинного угла:

sin(a/2) = √((1 - cos(a)) / 2)

Для косинуса идентичность половинного угла:

cos(a/2) = √((1 + cos(a)) / 2)

Формула половинного угла для тангенса

Для тангенса идентичность половинного угла:

tan(a/2) = √((1 - cos(a)) / (1 + cos(a)))

В качестве альтернативы:

tan(a/2) = sin(a) / (1 + cos(a))

tan(a/2) = (1 - cos(a)) / sin(a)

Пример

Пример 1: Упростить sin(75°)

Чтобы упростить sin(75°), отметим, что 75° = 45° + 30°. Мы можем использовать идентичность суммы для синуса:

sin(75°) = sin(45° + 30°)

Примените идентичность суммы:

sin(75°) = sin(45°)cos(30°) + cos(45°)sin(30°)

Подставьте известные значения:

sin(75°) = (√2/2) * (√3/2) + (√2/2) * (1/2)

Упрощение:

sin(75°) = √6/4 + √2/4 = (√6 + √2)/4

Пример 2: Проверка идентичности cos(2a) = 1 - 2sin²(a)

Начнем с идентичности удвоенного угла:

cos(2a) = cos²(a) - sin²(a)

Подставьте cos²(a) = 1 - sin²(a):

cos(2a) = (1 - sin²(a)) - sin²(a)

Упрощение:

cos(2a) = 1 - 2sin²(a)

Пример 3: Решить tan(2x) = 1 для 0 ≤ x < π

Используя идентичность удвоенного угла для тангенса:

tan(2x) = 2tan(x) / (1 - tan²(x))

Установите равенство на 1:

2tan(x) / (1 - tan²(x)) = 1

Перемножьте крест-накрест, чтобы решить для tan(x):

2tan(x) = 1 - tan²(x)

Преобразуйте уравнение:

tan²(x) + 2tan(x) - 1 = 0

Решите это квадратное уравнение для tan(x):

tan(x) = (-2 ± √(2² + 4 * 1)) / 2

tan(x) = (-2 ± √8) / 2

tan(x) = -1 ± √2

Найдите значение x:

Нам нужно tan(x) = -1 + √2 или tan(x) = -1 - √2, найдите соответствующий угол в этом диапазоне.

Заключение

Формулы преобразования в тригонометрии — это важный набор инструментов для решения и упрощения тригонометрических выражений и уравнений. Путем преобразования сложных выражений с использованием этих идентичностей мы можем решать более сложные задачи логично и пошагово. Независимо от того, имеем ли мы дело с суммой углов, разностью, удвоенными или половинными углами, эти формулы значительно расширяют наши возможности эффективно работать с тригонометрическими функциями.

комментарии