変換公式

高度な三角法において、変換公式は三角関数を含む式を異なる形に変えることを可能にする一連の恒等式を指します。これらの変換は、三角方程式を簡略化し、三角問題を解くのに特に有用です。三角法の基本的な変換公式には、和の公式、差の公式、二倍角の公式、および半角の公式が含まれます。ここでは、理解を助けるための例や視覚的な表現とともに、これらの各公式を詳しく探ります。

和と差の恒等式

和と差の恒等式は、角度の和や差の三角関数を個々の角度の三角関数の積として表現することを可能にします。これらの恒等式は、複雑な三角方程式を簡略化するのに非常に役立ちます。

正弦の和と差の恒等式

2つの角度の和の正弦は次のように表現できます：

sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

2つの角度の差の正弦は次のように表現できます：

sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)

余弦の和と差の恒等式

2つの角度の和の余弦は次のように表現できます：

cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)

2つの角度の差の余弦は次のように表現できます：

cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)

正接の和と差の恒等式

2つの角度の和の正接は次のように表現できます：

tan(a + b) = (tan(a) + tan(b)) / (1 - tan(a)tan(b))

2つの角度の差の正接は次のように表現できます：

tan(a - b) = (tan(a) - tan(b)) / (1 + tan(a)tan(b))

二倍角の公式

二倍角の公式は、単一の角度の関数によって倍加した角度の三角関数を表現するために使用されます。これらの公式は、角度が倍になる時に方程式を解くのに役立ちます。

正弦と余弦のための二倍角の公式

正弦の場合、二倍角の公式は：

sin(2a) = 2sin(a)cos(a)

余弦の場合、二倍角の公式は3つのバージョンがあります：

cos(2a) = cos²(a) - sin²(a)

cos(2a) = 2cos²(a) - 1

cos(2a) = 1 - 2sin²(a)

正接のための二倍角の公式

正接の場合、二倍角の公式は：

tan(2a) = 2tan(a) / (1 - tan²(a))

半角の恒等式

半角の恒等式は、角度が半分の場合に三角方程式を解くときに使用されます。これらの公式は二倍角の恒等式から導き出され、半角での三角関数の値を見つけるのに役立ちます。

正弦と余弦のための半角の公式

正弦の場合、半角の恒等式は：

sin(a/2) = √((1 - cos(a)) / 2)

余弦の場合、半角の恒等式は：

cos(a/2) = √((1 + cos(a)) / 2)

正接のための半角の公式

正接の場合、半角の恒等式は：

tan(a/2) = √((1 - cos(a)) / (1 + cos(a)))

代替として：

tan(a/2) = sin(a) / (1 + cos(a))

tan(a/2) = (1 - cos(a)) / sin(a)

例

例1: sin(75°) を簡略化する

sin(75°) を簡略化するには、75° = 45° + 30° であることに注意します。正弦の和の恒等式を使用できます：

sin(75°) = sin(45° + 30°)

和の恒等式を適用します：

sin(75°) = sin(45°)cos(30°) + cos(45°)sin(30°)

既知の値を代入します：

sin(75°) = (√2/2) * (√3/2) + (√2/2) * (1/2)

簡略化：

sin(75°) = √6/4 + √2/4 = (√6 + √2)/4

例2: 恒等式 cos(2a) = 1 - 2sin²(a) を確認する

二倍角の恒等式から始めます：

cos(2a) = cos²(a) - sin²(a)

cos²(a) = 1 - sin²(a) を代入します：

cos(2a) = (1 - sin²(a)) - sin²(a)

簡略化：

cos(2a) = 1 - 2sin²(a)

例3: tan(2x) = 1 を 0 ≤ x < π で解く

正接の二倍角の恒等式を使用します：

tan(2x) = 2tan(x) / (1 - tan²(x))

これを1に等しくします：

2tan(x) / (1 - tan²(x)) = 1

tan(x) を解くために両辺を交差乗算します：

2tan(x) = 1 - tan²(x)

方程式を並べ替えます：

tan²(x) + 2tan(x) - 1 = 0

この二次方程式を tan(x) について解きます：

tan(x) = (-2 ± √(2² + 4 * 1)) / 2

tan(x) = (-2 ± √8) / 2

tan(x) = -1 ± √2

x の値を見つけます：

この範囲内で対応する角度を見つけるために、tan(x) = -1 + √2 または tan(x) = -1 - √2 が必要です。

結論

三角法における変換公式は、三角式や方程式の解決や簡略化に欠かせないツールのセットです。これらの恒等式を使って複雑な式を変換することにより、論理的で段階的な方法でより複雑な問題に取り組むことができます。角度の和、差、二倍角、または半角を扱う際に、これらの公式は三角関数を効果的に操作する能力を大幅に向上させます。

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