परिवर्तन सूत्र

उन्नत ट्रिग्नोमेट्री में, परिवर्तन सूत्र एक समूह के पहचान तंत्र को संदर्भित करते हैं जो ट्रिग्नोमेट्रिक फंक्शन्स को विभिन्न रूपों में बदलने की अनुमति देते हैं। ये परिवर्तन विशेष रूप से ट्रिग्नोमेट्रिक समीकरणों को सरल बनाने और ट्रिग्नोमेट्रिक समस्याओं को हल करने में सहायक होते हैं। ट्रिग्नोमेट्री में बुनियादी परिवर्तन सूत्रों में योग, अंतर, द्वि कोण, और अर्ध कोण पहचानों के सूत्र शामिल होते हैं। यहाँ, हम इनमें से प्रत्येक को विस्तार से बताएंगे, उदाहरणों और दृश्य प्रतिनिधित्वों के साथ समझाने के लिए।

योग और अंतर पहचान

योग और अंतर पहचान हमें कोणों के योग या अंतर के त्रिकोणमिति फंक्शन्स को व्यक्तिगत कोणों के त्रिकोणमिति फंक्शन्स के उत्पाद के रूप में व्यक्त करने की अनुमति देते हैं। ये पहचानें जटिल ट्रिग्नोमेट्रिक समीकरणों को सरल बनाने के लिए अत्यंत उपयोगी होती हैं।

साइन योग और अंतर पहचान

दो कोणों के योग का साइन इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

दो कोणों के अंतर का साइन इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)

कोसाइन योग और अंतर पहचान

दो कोणों के योग का कोसाइन इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)

दो कोणों के अंतर का कोसाइन इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)

टैनजेंट योग और अंतर पहचान

दो कोणों के योग का टैनजेंट इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

tan(a + b) = (tan(a) + tan(b)) / (1 - tan(a)tan(b))

दो कोणों के अंतर का टैनजेंट इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

tan(a - b) = (tan(a) - tan(b)) / (1 + tan(a)tan(b))

द्वि कोण पहचान

द्वि कोण पहचान का उपयोग त्रिकोणमिति फंक्शन्स को द्वि कोणों के रूप में एकल कोणों के फंक्शन्स के रूप में व्यक्त करने के लिए किया जाता है। ये पहचानें उन समीकरणों को हल करने में मदद करती हैं जहाँ कोण दुगुना हो जाता है।

साइन और कोसाइन के लिए द्वि कोण सूत्र

साइन के लिए, द्वि कोण पहचान है:

sin(2a) = 2sin(a)cos(a)

कोसाइन के लिए, द्वि कोण पहचान के तीन संस्करण हैं:

cos(2a) = cos²(a) - sin²(a)

cos(2a) = 2cos²(a) - 1

cos(2a) = 1 - 2sin²(a)

टैनजेंट के लिए द्वि कोण सूत्र

टैनजेंट के लिए, द्वि कोण पहचान है:

tan(2a) = 2tan(a) / (1 - tan²(a))

अर्ध कोण पहचानें

अर्ध कोण पहचानें उन समीकरणों को हल करते समय इस्तेमाल होती हैं जहाँ कोण आधा होता है। ये द्वि कोण पहचान से व्युत्पन्न होती हैं और अर्ध कोणों पर त्रिकोणमिति फंक्शन्स के मान ज्ञात करने में सहायक होती हैं।

साइन और कोसाइन के लिए अर्ध कोण सूत्र

साइन के लिए, अर्ध कोण पहचान है:

sin(a/2) = √((1 - cos(a)) / 2)

कोसाइन के लिए, अर्ध कोण पहचान है:

cos(a/2) = √((1 + cos(a)) / 2)

टैनजेंट के लिए अर्ध कोण सूत्र

टैनजेंट के लिए, अर्ध कोण पहचान है:

tan(a/2) = √((1 - cos(a)) / (1 + cos(a)))

एक विकल्प के रूप में:

tan(a/2) = sin(a) / (1 + cos(a))

tan(a/2) = (1 - cos(a)) / sin(a)

उदाहरण

उदाहरण 1: sin(75°) को सरल बनाएँ

sin(75°) को सरल बनाने के लिए, ध्यान दें कि 75° = 45° + 30° है। हम साइन योग पहचान का उपयोग कर सकते हैं:

sin(75°) = sin(45° + 30°)

योग पहचान का उपयोग करें:

sin(75°) = sin(45°)cos(30°) + cos(45°)sin(30°)

ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करें:

sin(75°) = (√2/2) * (√3/2) + (√2/2) * (1/2)

सरलीकरण:

sin(75°) = √6/4 + √2/4 = (√6 + √2)/4

उदाहरण 2: पहचानों को सत्यापित करें cos(2a) = 1 - 2sin²(a)

द्वि कोण पहचान के साथ शुरू करें:

cos(2a) = cos²(a) - sin²(a)

प्रतिस्थापित करें cos²(a) = 1 - sin²(a):

cos(2a) = (1 - sin²(a)) - sin²(a)

सरलीकरण:

cos(2a) = 1 - 2sin²(a)

उदाहरण 3: समाधान करें tan(2x) = 1 के लिए 0 ≤ x < π

टैनजेंट के लिए द्वि कोण पहचान का उपयोग करें:

tan(2x) = 2tan(x) / (1 - tan²(x))

इसे 1 के बराबर सेट करें:

2tan(x) / (1 - tan²(x)) = 1

tan(x) के लिए समाधान के लिए क्रॉस-मल्टिप्लाई करें:

2tan(x) = 1 - tan²(x)

समीकरण को पुनः व्यवस्थित करें:

tan²(x) + 2tan(x) - 1 = 0

इस द्विघात समीकरण को tan(x) के लिए हल करें:

tan(x) = (-2 ± √(2² + 4 * 1)) / 2

tan(x) = (-2 ± √8) / 2

tan(x) = -1 ± √2

x का मान ज्ञात करें:

हमें tan(x) = -1 + √2 या tan(x) = -1 - √2 की आवश्यकता है, इस श्रेणी के भीतर संबंधित कोण की खोज करें।

निष्कर्ष

ट्रिग्नोमेट्री में परिवर्तन सूत्र त्रिकोणमिति अभिव्यक्तियों और समीकरणों को हल करने और सरल बनाने के लिए एक आवश्यक उपकरण हैं। इन पहचानों का उपयोग करके जटिल अभिव्यक्तियों को बदलकर, हम चरण-दर-चरण तर्कसंगत रूप से अधिक जटिल समस्याओं का समाधान कर सकते हैं। चाहे कोण योग, अंतर, द्वि या अर्ध कोण की स्थिति हो, ये सूत्र हमारे ट्रिग्नोमेट्रिक फ़ंक्शन्स के साथ कार्य करने की क्षमता को बहुत बढ़ाते हैं।

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