Grado 12
  1. Introducción al Álgebra  1.1. Matrices  1.1.1. Definición y tipos de matrices  1.1.2. Operaciones en matrices  1.1.3. Transposición de una matriz  1.1.4. Determinantes y sus propiedades  1.1.5. Inverso de una matriz  1.1.6. Resolución de ecuaciones lineales usando matrices  1.1.7. Aplicaciones de matrices  1.2. Números complejos  1.2.1. Definición y representación de números complejos  1.2.2. Comprensión del álgebra de los números complejos  1.2.3. Módulo y argumento de números complejos  1.2.4. Introducción a los números complejos  1.2.5. Teorema de De Moivre  1.2.6. Raíces de números complejos  1.2.7. Aplicaciones en geometría  1.3. Vectores y geometría 3D  1.3.1. Álgebra de vectores  1.3.2. Producto escalar y vectorial  1.3.3. Ecuación de una línea en el espacio  1.3.4. Ecuación de un plano en vectores y geometría 3D  1.3.5. Distancia entre líneas y planos  1.3.6. Ángulo entre líneas y planos
  2. Cálculos  2.1. Límites y continuidad  2.1.1. Concepto de Límites  2.1.2. Continuación de trabajos  2.1.3. Tipos de discontinuidad  2.1.4. Comprendiendo las limitaciones de la mano izquierda y derecha  2.2. Discriminación  2.2.1. Derivado como tasa de cambio  2.2.2. Técnicas de diferenciación  2.2.3. Derivadas de orden superior  2.2.4. Aplicaciones de las derivadas  2.2.5. Tangente y normal  2.2.6. Funciones crecientes y decrecientes  2.3. Integración  2.3.1. Integral indefinida  2.3.2. Integral definida  2.3.3. Técnicas de integración  2.3.4. Entendiendo el área bajo la curva en integración  2.3.5. Aplicaciones de las integrales en geometría  2.4. Ecuaciones diferenciales  2.4.1. Formación de ecuaciones diferenciales  2.4.2. Orden y grado de las ecuaciones diferenciales  2.4.3. Soluciones de ecuaciones diferenciales  2.4.4. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales  2.4.5. Introducción a las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
  3. Probabilidad y estadística  3.1. Entendiendo la Probabilidad  3.1.1. Comprendiendo la probabilidad condicional  3.1.2. Teorema de Bayes  3.1.3. Comprendiendo las variables aleatorias en probabilidad y estadísticas  3.1.4. Distribuciones de probabilidad  3.1.5. Distribución binomial y normal  3.2. Figuras  3.2.1. Media y desviación estándar  3.2.2. Varianza y covarianza  3.2.3. Correlación y regresión  3.2.4. Comprendiendo la prueba de hipótesis en estadística
  4. Programación lineal  4.1. Método gráfico en programación lineal  4.1.1. Comprendiendo las regiones factibles y no factibles en la programación lineal  4.1.2. Solución óptima en el método gráfico de programación lineal  4.1.3. Análisis de sensibilidad en el método gráfico  4.2. Método simplex  4.2.1. Formulación de problemas en el método del simplex  4.2.2. Resolviendo problemas de programación lineal usando el método simplex  4.2.3. Método del simplejo dual
  5. Relaciones y funciones  5.1. Tipos de relaciones  5.1.1. Relación reflexiva  5.1.2. Relaciones simétricas  5.1.3. Comprendiendo las relaciones transitivas  5.1.4. Relación de equivalencia  5.2. Tipos de tareas  5.2.1. Función sobreyectiva  5.2.2. Función uno a uno  5.2.3. Función inversa  5.2.4. Trabajo conjunto  5.3. Funciones trigonométricas inversas  5.3.1. Valores principales en funciones trigonométricas inversas  5.3.2. Propiedades y gráficos de funciones trigonométricas inversas  5.3.3. Aplicaciones en cálculo
  6. Trigonometría avanzada  6.1. Introducción a las ecuaciones trigonométricas  6.1.1. Soluciones generales de ecuaciones en ecuaciones trigonométricas  6.1.2. Fórmula de transformación  6.2. Funciones hiperbólicas  6.2.1. Definiciones y propiedades de las funciones hiperbólicas  6.2.2. Relación entre funciones hiperbólicas y trigonométricas
  7. Lógica aritmética  7.1. Razonamiento lógico  7.1.1. Declaraciones y conectores lógicos  7.1.2. Tautología y contradicción  7.2. Evidencia  7.2.1. Evidencia directa  7.2.2. Evidencia indirecta  7.2.3. Prueba por contradicción  7.2.4. Prueba por inducción matemática
  8. Aplicaciones de las Matemáticas  8.1. Aplicaciones del cálculo  8.1.1. Problemas de máximos y mínimos  8.1.2. Aplicaciones de la economía y la biología  8.1.3. Tasa de cambio en física  8.2. Aplicaciones de la Probabilidad  8.2.1. Análisis de riesgo  8.2.2. Toma de decisiones en aplicaciones de probabilidad  8.2.3. Teoría de juegos

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Fórmula de transformación


En trigonometría avanzada, las fórmulas de transformación se refieren a un grupo de identidades que permiten cambiar expresiones que involucran funciones trigonométricas a diferentes formas. Estas transformaciones son particularmente útiles para simplificar ecuaciones trigonométricas y resolver problemas trigonométricos. Las fórmulas básicas de transformación en trigonometría incluyen fórmulas para la suma, diferencia, ángulo doble y ángulo mitad. Aquí, exploraremos cada una de estas en detalle, con ejemplos y representaciones visuales para ayudar a la comprensión.

Identidades de suma y diferencia

Las identidades de suma y diferencia nos permiten expresar funciones trigonométricas de la suma o diferencia de ángulos como el producto de funciones trigonométricas de ángulos individuales. Estas identidades son extremadamente útiles para simplificar ecuaciones trigonométricas complejas.

Identidades de suma y diferencia de seno

El seno de la suma de dos ángulos se puede expresar como:

sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

El seno de la diferencia de dos ángulos se puede expresar como:

sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)

Identidades de suma y diferencia de coseno

El coseno de la suma de dos ángulos se puede expresar como:

cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)

El coseno de la diferencia de dos ángulos se puede expresar como:

cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)

Identidades de suma y diferencia de tangente

La tangente de la suma de dos ángulos se puede expresar como:

tan(a + b) = (tan(a) + tan(b)) / (1 - tan(a)tan(b))

La tangente de la diferencia de dos ángulos se puede expresar como:

tan(a - b) = (tan(a) - tan(b)) / (1 + tan(a)tan(b))
A B X

Identidad de ángulo doble

Las identidades de ángulo doble se utilizan para expresar funciones trigonométricas de ángulos dobles en términos de funciones de ángulos simples. Estas identidades ayudan a resolver ecuaciones donde el ángulo está duplicado.

Fórmulas de ángulo doble para seno y coseno

Para el seno, la identidad de ángulo doble es:

sin(2a) = 2sin(a)cos(a)

Para el coseno, hay tres versiones de las identidades de ángulo doble:

cos(2a) = cos²(a) - sin²(a)
cos(2a) = 2cos²(a) - 1
cos(2a) = 1 - 2sin²(a)

Fórmula de ángulo doble para tangente

Para la tangente, la identidad de ángulo doble es:

tan(2a) = 2tan(a) / (1 - tan²(a))
2A X

Identidades de ángulo mitad

Las identidades de ángulo mitad se utilizan al resolver ecuaciones trigonométricas donde el ángulo es la mitad. Se derivan de las identidades de ángulo doble y son útiles para encontrar los valores de las funciones trigonométricas en ángulos mitad.

Fórmulas de ángulo mitad para seno y coseno

Para el seno, la identidad de ángulo mitad es:

sin(a/2) = √((1 - cos(a)) / 2)

Para el coseno, la identidad de ángulo mitad es:

cos(a/2) = √((1 + cos(a)) / 2)

Fórmula de ángulo mitad para tangente

Para la tangente, la identidad de ángulo mitad es:

tan(a/2) = √((1 - cos(a)) / (1 + cos(a)))

Como alternativa:

tan(a/2) = sin(a) / (1 + cos(a))
tan(a/2) = (1 - cos(a)) / sin(a)
A/2 X

Ejemplo

Ejemplo 1: Simplificar sin(75°)

Para simplificar sin(75°), nota que 75° = 45° + 30°. Podemos usar la identidad de suma de seno:

sin(75°) = sin(45° + 30°)

Aplica la identidad de suma:

sin(75°) = sin(45°)cos(30°) + cos(45°)sin(30°)

Sustituye los valores conocidos:

sin(75°) = (√2/2) * (√3/2) + (√2/2) * (1/2)

Simplificación:

sin(75°) = √6/4 + √2/4 = (√6 + √2)/4

Ejemplo 2: Verificar la identidad cos(2a) = 1 - 2sin²(a)

Comienza con la identidad de ángulo doble:

cos(2a) = cos²(a) - sin²(a)

Sustituye cos²(a) = 1 - sin²(a):

cos(2a) = (1 - sin²(a)) - sin²(a)

Simplificación:

cos(2a) = 1 - 2sin²(a)

Ejemplo 3: Resolver tan(2x) = 1 para 0 ≤ x < π

Usando la identidad de ángulo doble para tangente:

tan(2x) = 2tan(x) / (1 - tan²(x))

Igualar a 1:

2tan(x) / (1 - tan²(x)) = 1

Multiplica en cruz para resolver por tan(x):

2tan(x) = 1 - tan²(x)

Reordena la ecuación:

tan²(x) + 2tan(x) - 1 = 0

Resuelve esta ecuación cuadrática para tan(x):

tan(x) = (-2 ± √(2² + 4 * 1)) / 2
tan(x) = (-2 ± √8) / 2
tan(x) = -1 ± √2

Encuentra el valor de x:

Necesitamos tan(x) = -1 + √2 o tan(x) = -1 - √2, encuentra el ángulo correspondiente dentro de este rango.

Conclusión

Las fórmulas de conversión en trigonometría son un conjunto esencial de herramientas para resolver y simplificar expresiones y ecuaciones trigonométricas. Al convertir expresiones complejas usando estas identidades, podemos abordar problemas más complejos de manera lógica y paso a paso. Ya sea que se trate de sumas de ángulos, diferencias, ángulos dobles o ángulos mitad, estas fórmulas mejoran significativamente nuestra capacidad para trabajar eficazmente con funciones trigonométricas.


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