संबंध और फलन

गणित एक प्रचुरता वाला विषय है जिसमें अमूर्तता और सामान्यताएँ होती हैं, और इसके कई अवधारणाओं में, संबंध और फलन मौलिक हैं। वे जटिल गणितीय विचारों को समझने के लिए आधार होते हैं और इनका उपयोग विज्ञान, इंजीनियरिंग और सामाजिक विज्ञान जैसे विभिन्न क्षेत्रों में होता है। यह व्याख्या बताती है कि संबंध और फलन क्या हैं, उनकी महत्ता और वे कैसे कार्य करते हैं।

एक संबंध क्या है?

फलन को समझने से पहले, संबंध की अवधारणा को समझना महत्वपूर्ण है। दो सेटों के बीच एक संबंध मूलतः क्रमबद्ध युग्मों का संग्रह है। ये क्रमबद्ध युग्म दर्शाते हैं कि एक सेट के तत्व दूसरे सेट के तत्वों से कैसे संबंधित हैं।

उदाहरण के लिए, दो सेटों पर विचार करें:

X = {1, 2, 3}
Y = {a, b, c}

सेट X से सेट Y तक का संबंध इस प्रकार प्रस्तुत किया जा सकता है:

R = {(1, a), (2, b), (3, c)}

यह संबंध R दिखाता है कि:

• 1 a से संबंधित है
• 2 b से संबंधित है
• 3 c से संबंधित है

दृश्यात्मक रूप से, संबंधों को इस तरह सोच सकते हैं जैसे कि यह एक सेट के तत्वों को दूसरे सेट के तत्वों से जोड़ने वाली रेखाएं हैं। उदाहरण के लिए:

संबंध का डोमेन और रेंज

संबंधों के संदर्भ में, हम दो महत्वपूर्ण शब्दों को परिभाषित करते हैं – डोमेन और रेंज।

• डोमेन: यह सभी पहले तत्वों (इनपुट मानों) का सेट है जो क्रमबद्ध युग्मों में होता है। हमारे उदाहरण में, डोमेन {1, 2, 3} है।
• रेंज: यह सभी बाकी तत्वों (आउटपुट मानों) का सेट है जो क्रमबद्ध युग्मों में होता है। हमारे उदाहरण में, रेंज {a, b, c} है।

फलन क्या है?

एक फलन एक विशेष प्रकार का संबंध होता है। यह एक नियम है जो एक सेट के प्रत्येक तत्व को (जिसे डोमेन कहते हैं) किसी अन्य सेट के केवल एक तत्व (जिसे रेंज कहते हैं) सौंपता है।

आइए इस परिभाषा को एक उदाहरण के साथ औपचारिक बनाएं। मान लें कि हमारे पास दो सेट हैं:

X = {1, 2, 3, 4}
Y = {a, b, c}

सेट X से सेट Y में एक फलन इस तरह दिखाई दे सकती है:

f = {(1, b), (2, c), (3, a), (4, b)}

देखें कि कैसे X के प्रत्येक तत्व को Y के किसी एक तत्व के साथ जोड़ा गया है। यही विशेषता इसे एक फलन बनाती है।

फलन अंकन

फलनों को आमतौर पर विशेष अंकन का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है। यदि 'f' एक फलन है जो सेट X से सेट Y तक जाती है, तो हम अंकन "f(x) = y" का उपयोग करते हैं यह दर्शाने के लिए कि फलन f सेट Y के तत्व y को सेट X के तत्व x को सौंपता है।

उदाहरण के लिए, पिछले फलन का उपयोग करें:

f(1) = b
f(2) = c
f(3) = a
f(4) = b

कार्य के प्रकार

फलनों को उनकी विशेषताओं के आधार पर कई प्रकारों में वर्गीकृत किया जा सकता है:

1. एक से एक फलन

एक फलन को एक से एक (इंजेक्टिव) कहा जाता है यदि डोमेन का प्रत्येक तत्व रेंज के एक अद्वितीय तत्व से मेल खाता है। दूसरे शब्दों में, अलग-अलग इनपुट विभिन्न आउटपुट की ओर ले जाते हैं।

उदाहरण:

f : x → yx = {1, 2, 3}
Y = {a, b, c}

F = {(1, a), (2, b), (3, c)}

यहां, सेट X के प्रत्येक तत्व को सेट Y के अद्वितीय तत्व पर मैप किया गया है, जिससे यह एक से एक होता है।

2. कई से एक फलन

यदि डोमेन में दो या अधिक तत्व रेंज में एक ही तत्व पर मैप करते हैं, तो फलन को कई से एक कहा जाता है। एक ही आउटपुट की ओर कई इनपुट जाते हैं।

उदाहरण:

f : x → yx = {1, 2, 3, 4}
Y = {a, b}

F = {(1, a), (2, b), (3, a), (4, a)}

यहां, सेट X के दोनों तत्व 1, 3 और 4 सेट Y के एक ही तत्व a पर मैप करते हैं।

3. ऑनटो फलन

यदि रेंज में हर तत्व डोमेन के तत्व द्वारा मैप किया गया है तो एक फलन ऑनटो (सर्जेक्टिव) होता है। सरल शब्दों में, फलन पूरे रेंज को कवर करता है।

उदाहरण:

f : x → yx = {1, 2, 3}
Y = {a, b}

F = {(1, a), (2, b), (3, a)}

यहां, सेट Y का हर तत्व सेट X के कुछ तत्व का इमेज है।

4. एक-से-एक पत्राचार

एक फलन जो एक-से-एक और एक से-एक दोनों होता है उसे बाइजेक्टिव फलन या एक-से-एक पत्राचार कहा जाता है। डोमेन का प्रत्येक तत्व रेंज के एक अद्वितीय तत्व से जोड़ा जाता है, पूरा रेंज कवर करता है।

उदाहरण:

f : x → yx = {1, 2, 3}
Y = {a, b, c}

F = {(1, a), (2, b), (3, c)}

यहां, फलन दोनों इंजेक्टिव (एक-से-एक) और सर्जेक्टिव (ऑनटो) है।

फलनों की दृश्यावली

फलनों को ग्राफ का उपयोग करके भी प्रस्तुत किया जा सकता है। गणित में, एक फलन को संख्यांक प्रणाली पर बिंदुओं के सेट के रूप में प्रस्तुत करना सामान्य है, जहां x-अक्ष डोमेन और y-अक्ष रेंज को दर्शाता है।

ग्राफ पर बिंदु फलन के विभिन्न इनपुट पर मूल्य को दर्शाते हैं। प्रत्येक बिंदु के पास x-कॉर्डिनेट (इनपुट) और y-कॉर्डिनेट (आउटपुट) होती है।

फलनों के गुण

1. डोमेन और रेंज

डोमेन और रेंज फलनों के मूलभूत गुण हैं। डोमेन सभी संभावित इनपुटों का सेट होता है, जबकि रेंज सभी संभावित आउटपुटों का सेट होता है।

उदाहरण:

f(x) = x^2
डोमेन: सभी वास्तविक संख्याएँ
रेंज: सभी गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ

2. संयुक्त कार्य

संयुक्त फलन तब बनाई जाती है जब एक फलन के बाद एक अन्य फलन लागू किया जाता है, इसे f(g(x)) के रूप में लिखा जाता है। इसका मतलब है "g को x पर लागू करें, फिर परिणाम पर f लागू करें।"

उदाहरण:

f(x) = x + 2
g(x) = 3x

(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(3x) = 3x + 2

निष्कर्ष

संबंधों और फलनों को समझना महत्वपूर्ण है क्योंकि वे इसके बाद के बहुत से बीजगणित और कलन का आधार बनाते हैं। वे न केवल सैद्धांतिक संरचनाएँ हैं, बल्कि वास्तविक दुनिया में भी उपयोग होते हैं। विभिन्न प्रकार के फलनों और उनके गुणों की खोज करके, छात्र इस बात की जानकारी प्राप्त करते हैं कि गणित कैसे दुनिया का मॉडल बनाता है।

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