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एक-से-एक फलन
गणित में, फलन मानों के सेटों के बीच संबंधों को समझने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। जब हम फलनों की बात करते हैं, तो हम अक्सर यह सोचते हैं कि एक मानों का सेट, जिसे डोमेन कहते हैं, किस प्रकार दूसरे सेट, जिसे कोडोमेन कहते हैं, से संबंधित है। एक विशेष प्रकार का फलन "एक-से-एक फलन" है। चलिए देखते हैं कि क्या एक फलन को एक-से-एक बनाता है और हम गणित में ऐसे फलनों की पहचान कैसे कर सकते हैं और उनके साथ कैसे काम कर सकते हैं।
एक-से-एक फलनों की समझ
एक फलन को एक-से-एक, या इंजेक्टिव कहा जाता है, यदि यह डोमेन के प्रत्येक मान को कोडोमेन में एक विशिष्ट और भिन्न मान के रूप में नियत करता है। इसका मतलब है कि डोमेन में कोई दो भिन्न मान कोडोमेन में एक ही मान से संबंधित नहीं होते हैं।
सरल शब्दों में, एक-से-एक फलन सुनिश्चित करता है कि प्रत्येक आउटपुट एक अद्वितीय इनपुट का परिणाम है। इस प्रकार, कोई दो इनपुट एक ही आउटपुट साझा नहीं करते हैं।
गणितीय परिभाषा
एक-से-एक फलन की परिभाषा को गणित के रूप में इस प्रकार दिया जा सकता है:
एक फलन f: A → B एक-से-एक है यदि f(x) = f(y) का अर्थ है कि x = y सभी x, y के लिए डोमेन A में होता है
यह परिभाषा थोड़ी अमूर्त लग सकती है, इसलिए चलिए इसे उदाहरणों और चित्रण के माध्यम से जांचते हैं।
एक-से-एक फलन का उदाहरण
एक साधारण उदाहरण पर विचार करें जहां हमारे पास एक फलन है f(x) = 2x जो समुच्चय के पूर्णांकों को खुद से गुणक के रूप में मानचित्रण करता है। चलिए देखते हैं कि यह फलन कैसे व्यवहार करता है:
यदि x = 1, तो f(1) = 2 x 1 = 2
यदि x = 2, तो f(2) = 2 x 2 = 4
यदि x = 3, तो f(3) = 2 x 3 = 6
इस उदाहरण में, प्रत्येक इनपुट अद्वितीय आउटपुट के रूप में मानचित्रित होता है, और कोई भी दो भिन्न इनपुट एक ही आउटपुट नहीं देते हैं, यह दिखाता है कि f(x) = 2x वास्तव में एक-से-एक फलन है।
ग्राफ के साथ चित्रण
फलनों को ग्राफ्स के साथ चित्रित करना उनके व्यवहार को समझने का एक सहायक तरीका है। एक-से-एक फलनों के लिए, ग्राफिकल परीक्षण को "क्षैतिज रेखा परीक्षण" कहा जाता है।
यदि एक क्षैतिज रेखा किसी फलन के ग्राफ को एक से अधिक बिंदुओं पर काटती है, तो वह फलन एक-से-एक नहीं है।
आइए फलन f(x) = x^2 के ग्राफ को देखें:
यहां, इनपुट x = 2 और x = -2 दोनों एक ही आउटपुट f(x) = 4 देते हैं। इसलिए, f(x) = x^2 एक-से-एक फलन नहीं है क्योंकि दो भिन्न इनपुट एक ही आउटपुट मान को साझा करते हैं।
अन्य उदाहरण और गैर-उदाहरण
उदाहरण: एक-से-एक फलन
आइए फलन f(x) = x + 1 का विश्लेषण करें:
यदि x = 0, तो f(0) = 0 + 1 = 1.
यदि x = 2, तो f(2) = 2 + 1 = 3.
यदि x = 5, तो f(5) = 5 + 1 = 6.
कोई दो इनपुट एक ही आउटपुट के लिए नहीं ले जाते हैं। इस प्रकार, f(x) = x + 1 एक-से-एक फलन है।
गैर-उदाहरण: एक-से-एक फलन नहीं
फलन f(x) = |x| (x का परिमाण) पर विचार करें:
x = 2 और x = -2 दोनों का परिणाम f(2) = f(-2) = 2 होता है।
चूंकि विभिन्न इनपुट समान आउटपुट के लिए मानचित्रित होते हैं, f(x) = |x| एक-से-एक फलन नहीं है।
एक-से-एक फलनों के गुण
एक-से-एक फलनों की विशेषताओं को समझना हमें इन्हें गणितीय समस्याओं में प्रभावी ढंग से उपयोग करने की अनुमति देता है:
- उलटनीयता: एक-से-एक फलन की उलटनीयता होती है, जिसका अर्थ है कि एक प्रतिलोम फलन
f⁻¹मौजूद होता है, जोकिf(f⁻¹(x)) = xसभीxके लिए सह-डोमेन में होता है। एक प्रतिलोम फलन मूल फलन की मानचित्रण को उलटा देता है। - क्षैतिज रेखा परीक्षण: एक-से-एक फलन का ग्राफिकल प्रतिनिधित्व क्षैतिज रेखा परीक्षण पास करेगा। कोई भी क्षैतिज रेखा फलन के ग्राफ को अधिकतम एक बार काटेगी।
एक-से-एक फलनों के परीक्षण
यह निर्धारित करने के लिए कि क्या एक फलन एक-से-एक है, आप निम्नलिखित तरीकों का उपयोग कर सकते हैं:
1. बीजगणितीय विधि
- मान लें कि
f(x) = f(y)और जांचें कि क्याx = yएकमात्र हल है।
उदाहरण:
जांच करें कि क्या f(x) = 3x + 2 एक-से-एक है।
मान लीजिए कि 3x + 2 = 3y + 2
दोनों पक्षों से 2 घटाएं: 3x = 3y
3 से भाग दें: x = y
चूंकि x = y एकमात्र हल है, f(x) = 3x + 2 एक-से-एक है।
2. ग्राफिकल विधि
- फलन का ग्राफ बनाएं और क्षैतिज रेखा परीक्षण लागू करें।
एक-से-एक फलनों के अनुप्रयोग
विभिन्न गणितीय परिस्थितियों और व्यावहारिक अनुप्रयोगों में एक-से-एक फलन महत्वपूर्ण हैं:
- कूटलेखन: कूटलेखन में, उलटे किये जाने योग्य फलन, जो आमतौर पर एक-से-एक होते हैं, आमतौर पर उपयोग किए जाते हैं। सुरक्षित रूप से डेटा को एन्क्रिप्ट और डिक्रिप्ट करने की क्षमता इन गुणों पर निर्भर करती है।
- कंप्यूटर विज्ञान: एक-से-एक फलन डेटा संरचनाओं और एल्गोरिदम डिजाइन में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं, अद्वितीय मानचित्रण सुनिश्चित करते हैं और डेटा टकराव से बचाते हैं।
निष्कर्ष
एक-से-एक फलन विभिन्न विधाओं में गणितीय सिद्धांतों को समझने और लागू करने में मौलिक होते हैं। वे प्रत्येक इनपुट के लिए एक अद्वितीय आउटपुट सुनिश्चित करते हैं, जिससे वे उलटे किये जाने योग्य होते हैं। एक-से-एक फलनों की पहचान करना और उनका अ
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