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ऑन्टो फ़ंक्शन
ऑन्टो फ़ंक्शन का परिचय
गणितीय शब्दों में, दो सेटों के बीच संबंध को वर्णित करने के लिए फ़ंक्शंस मौलिक ब्लॉक्स होते हैं। एक ऑन्टो फंक्शन विशेष रूप से एक प्रकार होता है जिसमें कोडोमेन में हर तत्व को डोमेन के तत्व द्वारा मैप किया जाता है। सरल शब्दों में, एक फ़ंक्शन का ऑन्टो (या सर्जेक्टिव) होने के लिए, हर संभव आउटपुट को संबोधित किया जाना चाहिए।
औपचारिक परिभाषा
हम दो सेटों पर विचार करें, A और B। A से B तक f नामक एक फ़ंक्शन है, जिसे f: A rightarrow B लिखा गया है। फ़ंक्शन f ऑन्टो या परामाउंट कहा जाता है यदि B में हर तत्व b के लिए, कम से कम एक तत्व a A में मौजूद होता है जिसका f(a) = b हो। मूल रूप से, सेट B में हर तत्व का एक पूर्व-प्रतिछाया A में होना चाहिए।
उदाहरण के माध्यम से समझें
संख्याओं के एक सरल सेट पर विचार करें। मान लीजिए A = {1, 2, 3} और B = {4, 5}। एक फ़ंक्शन f: A rightarrow B परिभाषित करें जहां:
f(1) = 4
f(2) = 5
f(3) = 4
इस मैपिंग में, सेट B का हर तत्व सेट A में एक पूर्व-चित्रण करता है:
b = 4को1और3दोनों से मैप किया जाता हैb = 5को2से मैप किया जाता है
इसलिए, f एक ऑन्टो फ़ंक्शन है।
ऑन्टो फ़ंक्शन का दृश्य प्रदर्शन
नीचे दिए गए उदाहरण का एक दृश्य चित्रण है:
यहां, नीले वृत सेट A के तत्वों का प्रतिनिधित्व करते हैं, और लाल वृत सेट B के तत्वों का प्रतिनिधित्व करते हैं। तीर A से B तक तत्वों की मैपिंग को दिखाते हैं, यह सुनिश्चित करते हैं कि सभी B तत्व शामिल हों।
एक और उदाहरण
हमारे समझ को मजबूत करने के लिए अलग-अलग सेटों के साथ एक और फ़ंक्शन पर विचार करें। मान लीजिए A = {1, 2, 3} और B = {5, 6, 7}। एक फ़ंक्शन g: A rightarrow B परिभाषित करें जहां:
g(1) = 5
g(2) = 6
g(3) = 7
इस मामले में, B का प्रत्येक तत्व A के ठीक एक तत्व द्वारा मैप किया गया है। इसलिए, फ़ंक्शन g भी एक ऑन्टो फ़ंक्शन है।
विपरीत उदाहरण
अब, एक विपरीत उदाहरण देखें कि एक ओंटोलॉजिकल फ़ंक्शन क्या नहीं है:
मान लीजिए हमारे पास A = {1, 2} और B = {3, 4} हैं। फ़ंक्शन h: A rightarrow B इस प्रकार परिभाषित है:
h(1) = 3
h(2) = 3
इस उदाहरण में, A का कोई तत्व B में b = 4 को मैप नहीं करता है। इसलिए, h एक ऑन्टो फ़ंक्शन नहीं है।
ऑन्टो फ़ंक्शन का लक्षणिकरण
यह निर्धारित करने के लिए कि कोई फ़ंक्शन ऑन्टो है या नहीं, निम्नलिखित किया जा सकता है:
- कोडोमेन की पहचान करें और सुनिश्चित करें कि उसमें हर तत्व का डोमेन से एक पूर्व-छवि है।
- फ़ंक्शन परिभाषाओं को जांचें कि प्रत्येक आउटपुट के लिए क्या संबोधित किया गया है।
गणितीय फ़ंक्शंस का विश्लेषण
आइए कुछ सामान्य गणितीय फ़ंक्शंस पर विचार करें और उनके ऑन्टो गुणों की खोज करें:
रेखीय फ़ंक्शंस
रेखीय फ़ंक्शन f(x) = 2x + 3 पर विचार करें जहां डोमेन और कोडोमेन सभी वास्तविक संख्याओं का सेट mathbb{R} है। इस फ़ंक्शन के लिए:
किसी भी वास्तविक संख्या c के लिए, हम x प्राप्त कर सकते हैं जैसे कि f(x) = c:
c = 2x + 3 ie x = frac{c - 3}{2}
इसलिए, फ़ंक्शन ऑन्टो है क्योंकि कोडोमेन में हर संभव वास्तविक संख्या c को कुछ वास्तविक संख्या x द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।
गणनाीय फ़ंक्शंस
गणनाीय फ़ंक्शन f(x) = x^2 पर विचार करें, जिसका डोमेन और कोडोमेन mathbb{R} के रूप में सेट किया गया है। यहां:
क्योंकि एक वास्तविक संख्या का वर्ग हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है, यह फ़ंक्शन ऑन्टो नहीं है, क्योंकि कोडोमेन में कोई भी ऋणात्मक संख्या किसी भी वास्तविक संख्या x का परिणाम नहीं हो सकती।
बीजगणित और कलन में महत्व
ऑन्टो फंक्शन बीजगणित और कलन के विभिन्न क्षेत्रों में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। उनका उपयोग बाइजेक्टिव फंक्शन की स्थापना में किया जाता है, जो एक से एक और ऑन्टो दोनों होते हैं। इन्हीं फ़ंक्शंस का उपयोग उलटा फ़ंक्शन को परिभाषित करने और समूह सिद्धांत और टोपोलॉजी जैसे गणितीय अवधारणाओं को समझने में किया जाता है।
निष्कर्ष
ऑन्टो फ़ंक्शन की अवधारणा को समझना गणित में आगे के अध्ययन के लिए महत्वपूर्ण है। यह यह समझने में सक्षम बनाता है कि फ़ंक्शंस को पूरी तरह से कैसे मैप किया जा सकता है और गणितीय संबंध और कलन से संबंधित समस्याओं को हल करने में मदद करता है। विभिन्न उदाहरणों और विपरीत उदाहरणों का अध्ययन करने से ऑन्टो फ़ंक्शंस की पहचान और लक्षणिकरण में गहरी समझ प्राप्त होती है।
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