12º ano
  1. Introdução à Álgebra  1.1. Matrizes  1.1.1. Definição e tipos de matrizes  1.1.2. Operações em matrizes  1.1.3. Transposição de uma matriz  1.1.4. Determinantes e suas propriedades  1.1.5. Inverso de uma matriz  1.1.6. Resolvendo equações lineares usando matrizes  1.1.7. Aplicações de matrizes  1.2. Números complexos  1.2.1. Definição e representação de números complexos  1.2.2. Compreendendo a álgebra dos números complexos  1.2.3. Módulo e argumento de números complexos  1.2.4. Introdução aos números complexos  1.2.5. Teorema de De Moivre  1.2.6. Raízes de números complexos  1.2.7. Aplicações em geometria  1.3. Vetores e geometria 3D  1.3.1. Álgebra vetorial  1.3.2. Produto escalar e vetorial  1.3.3. Equação de uma linha no espaço  1.3.4. Equação de um plano em vetores e geometria 3D  1.3.5. Distância entre retas e planos  1.3.6. Ângulo entre linhas e planos
  2. Cálculos  2.1. Limites e continuidade  2.1.1. O conceito de limites  2.1.2. Continuação das obras  2.1.3. Tipos de descontinuidade  2.1.4. Compreendendo as limitações da mão esquerda e da mão direita  2.2. Discriminação  2.2.1. Derivado como taxa de variação  2.2.2. Técnicas de diferenciação  2.2.3. Derivadas de ordem superior  2.2.4. Aplicações de derivadas  2.2.5. Tangente e normal  2.2.6. Funções crescentes e decrescentes  2.3. Integração  2.3.1. Integral indefinida  2.3.2. Integral definida  2.3.3. Técnicas de integração  2.3.4. Compreendendo a área sob a curva na integração  2.3.5. Aplicações de integrais em geometria  2.4. Equações Diferenciais  2.4.1. Formação de equações diferenciais  2.4.2. Ordem e grau de equações diferenciais  2.4.3. Soluções de equações diferenciais  2.4.4. Aplicações de equações diferenciais  2.4.5. Introdução às equações diferenciais lineares de primeira ordem
  3. Probabilidade e estatística  3.1. Compreendendo a Probabilidade  3.1.1. Compreendendo a probabilidade condicional  3.1.2. Teorema de Bayes  3.1.3. Compreendendo variáveis aleatórias em probabilidade e estatística  3.1.4. Distribuições de probabilidade  3.1.5. Distribuição binomial e normal  3.2. Figuras  3.2.1. Média e desvio padrão  3.2.2. Variância e covariância  3.2.3. Correlação e regressão  3.2.4. Compreendendo o teste de hipóteses em estatística
  4. Programação linear  4.1. Método gráfico em programação linear  4.1.1. Compreendendo regiões viáveis e inviáveis em programação linear  4.1.2. Solução ótima no método gráfico de programação linear  4.1.3. Análise de sensibilidade no método gráfico  4.2. Método Simplex  4.2.1. Formulação de problemas no método simplex  4.2.2. Resolvendo problemas de programação linear usando o método simplex  4.2.3. Método dual do simplex
  5. Relações e funções  5.1. Tipos de relações  5.1.1. Relação reflexiva  5.1.2. Relações simétricas  5.1.3. Compreendendo relações transitivas  5.1.4. Relação de equivalência  5.2. Tipos de tarefas  5.2.1. Função sobrejetora  5.2.2. Função um-para-um  5.2.3. Função inversa  5.2.4. Trabalho conjunto  5.3. Funções trigonométricas inversas  5.3.1. Valores principais em funções trigonométricas inversas  5.3.2. Propriedades e gráficos das funções trigonométricas inversas  5.3.3. Aplicações em cálculo
  6. Trigonometria avançada  6.1. Introdução às equações trigonométricas  6.1.1. Soluções gerais de equações em equações trigonométricas  6.1.2. Fórmula de transformação  6.2. Funções hiperbólicas  6.2.1. Definições e propriedades das funções hiperbólicas  6.2.2. Relação entre funções hiperbólicas e trigonométricas
  7. Lógica aritmética  7.1. Raciocínio lógico  7.1.1. Declarações e conectivos lógicos  7.1.2. Tautologia e contradição  7.2. Evidência  7.2.1. Evidência direta  7.2.2. Evidência indireta  7.2.3. Prova por contradição  7.2.4. Prova por indução matemática
  8. Aplicações da Matemática  8.1. Aplicações do cálculo  8.1.1. Problemas de máximo e mínimo  8.1.2. Aplicações de economia e biologia  8.1.3. Taxa de variação na física  8.2. Aplicações de Probabilidade  8.2.1. Análise de risco  8.2.2. Tomada de decisão em aplicações de probabilidade  8.2.3. Teoria dos jogos

12º ano ↓


Programação linear


A programação linear é uma área fascinante da matemática que lida com a otimização de um resultado específico com base em um conjunto de relações lineares. É um tópico importante, especialmente em áreas como economia, negócios, engenharia e aplicações militares. Em sua essência, a programação linear tenta maximizar ou minimizar uma função objetivo linear sujeita a um conjunto de restrições de desigualdade ou igualdade lineares.

Compreendendo a programação linear

Para simplificar, imagine que você administra uma fábrica que produz dois tipos de produtos: widgets e gadgets. Você obtém lucro com ambos, mas devido a limitações de recursos, não pode produzir quantidades ilimitadas de cada. Como você pode decidir a melhor maneira de maximizar seu lucro? É aqui que a programação linear pode ajudar.

Conceitos básicos

Função objetivo

A função objetivo é a fórmula que queremos maximizar ou minimizar. No exemplo da nossa fábrica, se você lucrar $20 por widget e $30 por gadget, sua função objetivo seria:

Z = 20W + 30G

Aqui, Z representa o lucro total, W representa o número de widgets e G representa o número de gadgets.

Restrições

As restrições são condições que devem ser satisfeitas para que uma solução seja viável. Em um sentido matemático, são desigualdades ou igualdades. Por exemplo, suponha que você tenha um limite de horas de máquina ou matérias-primas. Suponha que sua máquina só possa operar 40 horas por semana e leve 1 hora para fazer um widget e 2 horas para fazer um gadget. As restrições seriam:

1W + 2G ≤ 40

Você também pode ter mais restrições, como limites orçamentários ou de materiais. Essas restrições limitam o número de widgets e gadgets que você pode produzir.

Região viável

A região viável é a área no gráfico onde todas as restrições se sobrepõem. Ela mostra todas as combinações possíveis de W e G que satisfazem todas as condições.

Método gráfico

Vamos ilustrar o conceito de programação linear usando um método gráfico simples. Para problemas com duas variáveis, como nosso exemplo de widgets e gadgets, métodos gráficos são particularmente úteis.

1W+2G≤40

Neste exemplo, o eixo x representa W (número de widgets) e o eixo y representa G (número de gadgets). A linha 1W + 2G = 40 representa uma restrição. A região sombreada é a região viável.

Resolvendo problemas de programação linear

Agora que temos uma compreensão básica das linhas e restrições, vamos resolver um problema simples de programação linear usando o método gráfico.

Problema de exemplo

Considere nosso exemplo anterior com algumas restrições adicionais:

Função Objetivo: Maximizar Z = 20W + 30G Sujeito a: 1W + 2G ≤ 40 W ≤ 15 G ≤ 10
Função Objetivo: Maximizar Z = 20W + 30G Sujeito a: 1W + 2G ≤ 40 W ≤ 15 G ≤ 10

Solução passo a passo

  1. Trace as restrições no gráfico.
  2. Sombreie a região viável, que é delimitada pelos obstáculos.
  3. Identifique os pontos de canto da região viável.
  4. Calcule o valor da função objetivo em cada ponto de canto.
  5. O valor máximo ou mínimo resolverá o problema.

Gráfico para o problema de exemplo

(15,0) (10,10) (0,10)

A região viável é sombreada em azul, e os pontos de canto são: (0,0), (15,0), (10,10) e (0,10).

Cálculos nos pontos de canto

  • No ponto (0,0): Z = 20*0 + 30*0 = 0
  • No ponto (15,0): Z = 20*15 + 30*0 = 300
  • No ponto (10,10): Z = 20*10 + 30*10 = 500
  • No ponto (0,10): Z = 20*0 + 30*10 = 300

O valor máximo de Z é 500, que se encontra no ponto (10,10). Portanto, produzir 10 widgets e 10 gadgets maximiza o lucro sob as restrições dadas.

Aplicações da programação linear

A programação linear é amplamente utilizada em diversas indústrias e áreas. Aqui estão alguns exemplos onde a programação linear pode ser aplicada:

  • Manufatura: Decidir a combinação de diferentes produtos a serem produzidos em uma fábrica a fim de maximizar os lucros ou minimizar os custos, enquanto leva em conta recursos, mão-de-obra e tempo de máquina.
  • Transporte: Otimizar rotas de transporte para minimizar o custo ou o tempo na entrega de mercadorias de armazéns para vários locais.
  • Problemas dietéticos: Determinar a combinação mais econômica de alimentos que atenderá a todos os requisitos nutricionais.
  • Investimentos: Alocar um portfólio para equilibrar risco e retorno, maximizando retornos dentro de restrições determinadas como horizontes financeiros.

Métodos avançados além do método gráfico

Enquanto o método gráfico é excelente para resolver problemas com duas variáveis, problemas reais de programação linear geralmente envolvem mais variáveis e restrições. Para isso, são usados métodos computacionais mais avançados:

Método do simplex

O método do simplex é uma abordagem algorítmica para resolver problemas de programação linear com mais de duas variáveis. Ele funciona no princípio de avaliar os pontos de vértice na região viável e visitar vértices adjacentes para encontrar a solução ótima.

Método do simplex dual

Semelhante ao método do simplex, o método do simplex dual é usado quando o problema não é inicialmente viável, mas se torna viável por meio do ajuste das restrições.

Método de pontos interiores

Uma alternativa aos métodos simplex, o método de pontos interiores é eficiente no manejo de problemas de programação linear em grande escala. Em vez de percorrer a região viável aresta por aresta, ele percorre o interior das regiões viáveis.

Coisas importantes a lembrar

Aqui estão alguns pontos importantes ao lidar com programação linear:

  • A função objetivo e as restrições devem ser expressões lineares.
  • A inclinação da função objetivo e das restrições desempenha um papel importante na determinação da região viável.
  • A inviabilidade significa que nenhuma solução pode satisfazer todas as restrições.
  • As soluções ilimitadas ocorrem quando a região viável se estende indefinidamente, levando a uma maximização ou minimização infinita.

Conclusão

A programação linear é uma técnica poderosa na otimização matemática que é utilizada em uma variedade de problemas da vida real. Ela fornece uma maneira sistemática e eficiente de alocar recursos da melhor maneira possível. O pleno entendimento requer dominar tanto a geometria das regiões viáveis quanto a álgebra das restrições e funções objetivo. Praticar com vários exemplos fortalece a compreensão e desenvolve habilidades de resolução de problemas.


12º ano → 4


U
username
0%
concluído em 12º ano

← Anterior (3.2.4)
Compreendendo o teste de hipóteses em estatística
Próximo (4.1) →
Método gráfico em programação linear

Comentários 



Programação linear

https://www.buddymath.com/g12/4?bmal=pt