कक्षा 12 ↓
रैखिक प्रोग्रामिंग
रैखिक प्रोग्रामिंग गणित का एक रोचक क्षेत्र है जो कुछ रैखिक संबंधों के सेट के आधार पर एक विशेष परिणाम को अनुकूलित करने से संबंधित है। यह एक महत्वपूर्ण विषय है, विशेष रूप से अर्थशास्त्र, व्यापार, इंजीनियरिंग और सैन्य अनुप्रयोगों जैसे क्षेत्रों में। मूल रूप से, रैखिक प्रोग्रामिंग रैखिक असमानता या समानता बाधाओं के एक सेट के अधीन एक रैखिक उद्देश्य फ़ंक्शन को अधिकतम या न्यूनतम करने का प्रयास करता है।
रैखिक प्रोग्रामिंग की समझ
साधारण तरीके से कहें तो कल्पना करें कि आप एक फैक्ट्री चलाते हैं जो दो प्रकार की उत्पाद वस्तुएं बनाती है: विड्जेट्स और गैजेट्स। आप दोनों से लाभ कमाते हैं, लेकिन संसाधनों की सीमाओं के कारण आप प्रत्येक की असीमित मात्रा का उत्पादन नहीं कर सकते। आप अपने लाभ को अधिकतम करने का सबसे अच्छा तरीका कैसे तय कर सकते हैं? यहीं पर रैखिक प्रोग्रामिंग आपकी मदद कर सकती है।
मूल अवधारणाएँ
उद्देश्य फ़ंक्शन
उद्देश्य फ़ंक्शन वह सूत्र है जिसे हम अधिकतम या न्यूनतम करना चाहते हैं। हमारे फैक्ट्री के उदाहरण में, यदि आप प्रति विड्जेट $20 और प्रति गैजेट $30 का लाभ कमाते हैं, तो आपका उद्देश्य फ़ंक्शन होगा:
Z = 20W + 30Gयहाँ, Z कुल लाभ का प्रतिनिधित्व करता है, W विड्जेट्स की संख्या का, और G गैजेट्स की संख्या का।
प्रतिबंध
बाधाएँ वे शर्तें हैं जिनका समाधान संभव होने के लिए पूरा होना आवश्यक है। एक गणितीय दृष्टिकोण से, ये असमानताएँ या समानताएँ हैं। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि आपके मशीन समय या कच्चे माल पर सीमा है। मान लीजिए कि आपकी मशीन सप्ताह में केवल 40 घंटे चल सकती है, और एक विड्जेट बनाने में 1 घंटे और एक गैजेट बनाने में 2 घंटे लगते हैं। तो बाधाएँ होंगी:
1W + 2G ≤ 40आपके पास बजट सीमा या सामग्री सीमा जैसी अधिक बाधाएँ भी हो सकती हैं। ये बाधाएँ उनीवर्तन और गैजेट्स की संख्या को सीमित करती हैं जो आप उत्पादन कर सकते हैं।
संभाव्य क्षेत्र
संभाव्य क्षेत्र वह ग्राफ में क्षेत्र है जहाँ सभी बाधाएँ ओवरलैप होती हैं। यह सभी संभव संयोजनों को दर्शाता है जो W और G सभी शर्तों को पूरा करते हैं।
ग्राफिकल विधि
आइए एक साधारण ग्राफिकल विधि का उपयोग करके रैखिक प्रोग्रामिंग की अवधारणा को समझाएं। हमारी विड्जेट और गैजेट उदाहरण जैसी दो-चर समस्याओं के लिए, ग्राफिकल विधियाँ विशेष रूप से उपयोगी होती हैं।
इस उदाहरण में, x-अक्ष W (विड्जेट्स की संख्या) का प्रतिनिधित्व करता है और y-अक्ष G (गैजेट्स की संख्या) का प्रतिनिधित्व करता है। रेखा 1W + 2G = 40 एक बाधा का प्रतिनिधित्व करती है। छायांकित क्षेत्र संभाव्य क्षेत्र है।
रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं को हल करना
अब जब हमें पंक्तियाँ और बाधाएँ की एक मूल समझ है, आइए ग्राफिकल विधि का उपयोग करके एक सरल रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या का समाधान करें।
उदाहरण समस्या
कुछ अतिरिक्त प्रतिबंधों के साथ हमारे पिछले उदाहरण पर विचार करें:
Objective Function: Maximize Z = 20W + 30G Subject to: 1W + 2G ≤ 40 W ≤ 15 G ≤ 10Objective Function: Maximize Z = 20W + 30G Subject to: 1W + 2G ≤ 40 W ≤ 15 G ≤ 10
चरण-दर-चरण समाधान
- ग्राफ पर बाधाओं को ड्रॉ करना।
- संभाव्य क्षेत्र को छायांकित करें, जो अवरोधों द्वारा बंद किया गया है।
- संभाव्य क्षेत्र के कोने बिंदुओं की पहचान करें।
- प्रत्येक कोने बिंदु पर उद्देश्य फ़ंक्शन का मूल्य गणना करें।
- अधिकतम या न्यूनतम मूल्य समस्या का समाधान करेगा।
उदाहरण समस्या के लिए ग्राफ
संभाव्य क्षेत्र नीले रंग में छायांकित है, और कोने बिंदु हैं: (0,0), (15,0), (10,10), और (0,10)।
कोने बिंदुओं पर गणनाएं
- (0,0) पर:
Z = 20*0 + 30*0 = 0 - (15,0) पर:
Z = 20*15 + 30*0 = 300 - (10,10) पर:
Z = 20*10 + 30*10 = 500 - (0,10) पर:
Z = 20*0 + 30*10 = 300
Z का अधिकतम मूल्य 500 है, जो बिंदु (10,10) पर स्थित है। इसलिए, दिए गए प्रतिबंधों के तहत 10 विड्जेट्स और 10 गैजेट्स का उत्पादन करना लाभ को अधिकतम करता है।
रैखिक प्रोग्रामिंग के अनुप्रयोग
रैखिक प्रोग्रामिंग का व्यापक रूप से विभिन्न उद्योगों और क्षेत्रों में उपयोग किया जाता है। यहाँ कुछ उदाहरण हैं जहाँ रैखिक प्रोग्रामिंग लागू हो सकती है:
- निर्माण: एक फैक्ट्री में उत्पादन के लिए विभिन्न उत्पादों के संयोजन का निर्णय लेना ताकि लाभ को अधिकतम या लागत को न्यूनतम किया जा सके, संसाधनों, श्रम और मशीन समय को ध्यान में रखते हुए।
- परिवहन: गोदामों से विभिन्न स्थानों पर सामानों की डिलीवरी के समय या लागत को न्यूनतम करते हुए परिवहन मार्गों का अनुकूलन करना।
- आहार समस्याएं: सभी पोषण संबंधी आवश्यकताओं को पूरा करने वाले खाद्य पदार्थों के सबसे किफायती संयोजन का निर्धारण।
- निवेश: वित्तीय क्षितिज जैसी बाधाओं के अंतर्गत अधिकतम रिटर्न को संतुलित जोखिम और रिटर्न में पोर्टफोलियो आवंटित करना।
ग्राफिकल विधि से परे उन्नत विधियाँ
जबकि ग्राफिकल विधि दो-चर समस्याओं के समाधान के लिए उत्कृष्ट है, वास्तविक विश्व रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याएं अक्सर अधिक चर और प्रतिबंधों से संबंधित होती हैं। इनके लिए, अधिक उन्नत कम्प्यूटेश्नल विधियों का उपयोग किया जाता है:
सिंप्लेक्स विधि
सिंप्लेक्स विधि एक एल्गोरिदमिक दृष्टिकोण है जो दो से अधिक चर वाली रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं के समाधान के लिए प्रयुक्त होती है। यह संभावना क्षेत्र में वर्टेक्स पॉइंट्स का मूल्यांकन करने और आसन्न वर्टेक्स का दौरा करके इष्टतम समाधान खोजने के सिद्धांत पर काम करती है।
डुअल सिंप्लेक्स विधि
सिंप्लेक्स विधि के समान, डुअल सिंप्लेक्स विधि तब उपयोग की जाती है जब समस्या प्रारंभ में संभव नहीं होती है, लेकिन बाधाओं के समायोजन के द्वारा संभव हो जाती है।
इंटीरियर-पॉइंट विधि
सिंप्लेक्स विधियों का एक विकल्प, इंटीरियर-पॉइंट विधि बड़े पैमाने पर रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं को संभालने में कुशल होती है। यह संभावना क्षेत्र के किनारे-किनारे ट्रैवर्स करने के बजाय, संभावना क्षेत्रों के इंटीरियर से होकर गुजरने का ट्रैक रखती है।
महत्वपूर्ण बातें याद रखने के लिए
रैखिक प्रोग्रामिंग से निपटने के दौरान कुछ महत्वपूर्ण बिंदु निम्नलिखित हैं:
- उद्देश्य फ़ंक्शन और बाधाएँ रैखिक अभिव्यक्तियां होनी चाहिए।
- उद्देश्य फ़ंक्शन और बाधाओं का ढलान संभाव्य क्षेत्र को निर्धारित करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।
- असंभाव्यता का अर्थ है कि कोई समाधान सभी बाधाओं को संतुष्ट नहीं कर सकता।
- अनबाउंडेड समाधान तब होते हैं जब संभाव्य क्षेत्र अनिश्चित रूप से फैलता है, अनंत अधिकतमकरण या न्यूनतमकरण की ओर ले जाता है।
निष्कर्ष
रैखिक प्रोग्रामिंग गणितीय अनुकूलन में एक शक्तिशाली तकनीक है जो विभिन्न वास्तविक जीवन की समस्याओं में उपयोग की जाती है। यह संसाधनों के सर्वोत्तम संभव तरीके से आवंटित करने के लिए एक प्रणालीबद्ध और कुशल तरीका प्रदान करती है। पूर्ण समझ के लिए संभाव्य क्षेत्र की ज्यामिति और बाधाओं और उद्देश्य फ़ंक्शन की बीजगणित का मास्टरिंग आवश्यक है। विविध उदाहरणों के साथ अभ्यास करने से समझ सुदृढ़ होती है और समस्या सुलझाने की क्षमता बढ़ती है।
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