Grado 12
  1. Introducción al Álgebra  1.1. Matrices  1.1.1. Definición y tipos de matrices  1.1.2. Operaciones en matrices  1.1.3. Transposición de una matriz  1.1.4. Determinantes y sus propiedades  1.1.5. Inverso de una matriz  1.1.6. Resolución de ecuaciones lineales usando matrices  1.1.7. Aplicaciones de matrices  1.2. Números complejos  1.2.1. Definición y representación de números complejos  1.2.2. Comprensión del álgebra de los números complejos  1.2.3. Módulo y argumento de números complejos  1.2.4. Introducción a los números complejos  1.2.5. Teorema de De Moivre  1.2.6. Raíces de números complejos  1.2.7. Aplicaciones en geometría  1.3. Vectores y geometría 3D  1.3.1. Álgebra de vectores  1.3.2. Producto escalar y vectorial  1.3.3. Ecuación de una línea en el espacio  1.3.4. Ecuación de un plano en vectores y geometría 3D  1.3.5. Distancia entre líneas y planos  1.3.6. Ángulo entre líneas y planos
  2. Cálculos  2.1. Límites y continuidad  2.1.1. Concepto de Límites  2.1.2. Continuación de trabajos  2.1.3. Tipos de discontinuidad  2.1.4. Comprendiendo las limitaciones de la mano izquierda y derecha  2.2. Discriminación  2.2.1. Derivado como tasa de cambio  2.2.2. Técnicas de diferenciación  2.2.3. Derivadas de orden superior  2.2.4. Aplicaciones de las derivadas  2.2.5. Tangente y normal  2.2.6. Funciones crecientes y decrecientes  2.3. Integración  2.3.1. Integral indefinida  2.3.2. Integral definida  2.3.3. Técnicas de integración  2.3.4. Entendiendo el área bajo la curva en integración  2.3.5. Aplicaciones de las integrales en geometría  2.4. Ecuaciones diferenciales  2.4.1. Formación de ecuaciones diferenciales  2.4.2. Orden y grado de las ecuaciones diferenciales  2.4.3. Soluciones de ecuaciones diferenciales  2.4.4. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales  2.4.5. Introducción a las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
  3. Probabilidad y estadística  3.1. Entendiendo la Probabilidad  3.1.1. Comprendiendo la probabilidad condicional  3.1.2. Teorema de Bayes  3.1.3. Comprendiendo las variables aleatorias en probabilidad y estadísticas  3.1.4. Distribuciones de probabilidad  3.1.5. Distribución binomial y normal  3.2. Figuras  3.2.1. Media y desviación estándar  3.2.2. Varianza y covarianza  3.2.3. Correlación y regresión  3.2.4. Comprendiendo la prueba de hipótesis en estadística
  4. Programación lineal  4.1. Método gráfico en programación lineal  4.1.1. Comprendiendo las regiones factibles y no factibles en la programación lineal  4.1.2. Solución óptima en el método gráfico de programación lineal  4.1.3. Análisis de sensibilidad en el método gráfico  4.2. Método simplex  4.2.1. Formulación de problemas en el método del simplex  4.2.2. Resolviendo problemas de programación lineal usando el método simplex  4.2.3. Método del simplejo dual
  5. Relaciones y funciones  5.1. Tipos de relaciones  5.1.1. Relación reflexiva  5.1.2. Relaciones simétricas  5.1.3. Comprendiendo las relaciones transitivas  5.1.4. Relación de equivalencia  5.2. Tipos de tareas  5.2.1. Función sobreyectiva  5.2.2. Función uno a uno  5.2.3. Función inversa  5.2.4. Trabajo conjunto  5.3. Funciones trigonométricas inversas  5.3.1. Valores principales en funciones trigonométricas inversas  5.3.2. Propiedades y gráficos de funciones trigonométricas inversas  5.3.3. Aplicaciones en cálculo
  6. Trigonometría avanzada  6.1. Introducción a las ecuaciones trigonométricas  6.1.1. Soluciones generales de ecuaciones en ecuaciones trigonométricas  6.1.2. Fórmula de transformación  6.2. Funciones hiperbólicas  6.2.1. Definiciones y propiedades de las funciones hiperbólicas  6.2.2. Relación entre funciones hiperbólicas y trigonométricas
  7. Lógica aritmética  7.1. Razonamiento lógico  7.1.1. Declaraciones y conectores lógicos  7.1.2. Tautología y contradicción  7.2. Evidencia  7.2.1. Evidencia directa  7.2.2. Evidencia indirecta  7.2.3. Prueba por contradicción  7.2.4. Prueba por inducción matemática
  8. Aplicaciones de las Matemáticas  8.1. Aplicaciones del cálculo  8.1.1. Problemas de máximos y mínimos  8.1.2. Aplicaciones de la economía y la biología  8.1.3. Tasa de cambio en física  8.2. Aplicaciones de la Probabilidad  8.2.1. Análisis de riesgo  8.2.2. Toma de decisiones en aplicaciones de probabilidad  8.2.3. Teoría de juegos

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Programación lineal


La programación lineal es un área fascinante de las matemáticas que se ocupa de optimizar un resultado particular basado en un conjunto de relaciones lineales. Es un tema importante, especialmente en campos como la economía, los negocios, la ingeniería y las aplicaciones militares. En su núcleo, la programación lineal intenta maximizar o minimizar una función objetivo lineal sujeta a un conjunto de restricciones de desigualdad o igualdad lineal.

Comprendiendo la programación lineal

Para ponerlo en términos sencillos, imagina que diriges una fábrica que fabrica dos tipos de productos: widgets y gadgets. Obtienes una ganancia de ambos, pero debido a limitaciones de recursos, no puedes producir cantidades ilimitadas de cada uno. ¿Cómo puedes decidir la mejor manera de maximizar tus ganancias? Aquí es donde la programación lineal puede ayudar.

Conceptos básicos

Función objetivo

La función objetivo es la fórmula que queremos maximizar o minimizar. En nuestro ejemplo de fábrica, si obtienes una ganancia de $20 por widget y $30 por gadget, tu función objetivo sería:

Z = 20W + 30G

Aquí, Z representa el beneficio total, W representa la cantidad de widgets, y G representa la cantidad de gadgets.

Restricciones

Las restricciones son condiciones que deben cumplirse para que una solución sea factible. En un sentido matemático, son desigualdades o igualdades. Por ejemplo, supongamos que tienes un límite en las horas de máquina o en las materias primas. Supongamos que tu máquina solo puede funcionar 40 horas a la semana, y se necesita 1 hora para hacer un widget y 2 horas para hacer un gadget. Las restricciones serían:

1W + 2G ≤ 40

También podrías tener más restricciones como límites presupuestarios o de materiales. Estas restricciones limitan el número de widgets y gadgets que puedes producir.

Región factible

La región factible es el área en el gráfico donde todas las restricciones se superponen. Muestra todas las combinaciones posibles de W y G que satisfacen todas las condiciones.

Método gráfico

Ilustremos el concepto de programación lineal usando un método gráfico simple. Para problemas de dos variables como nuestro ejemplo de widgets y gadgets, los métodos gráficos son particularmente útiles.

1W+2G≤40

En este ejemplo, el eje x representa W (número de widgets) y el eje y representa G (número de gadgets). La línea 1W + 2G = 40 representa una restricción. La región sombreada es la región factible.

Resolviendo problemas de programación lineal

Ahora que tenemos una comprensión básica de las líneas y restricciones, resolvamos un problema sencillo de programación lineal utilizando el método gráfico.

Problema de ejemplo

Considera nuestro ejemplo anterior con algunas restricciones adicionales:

Función Objetivo: Maximizar Z = 20W + 30G Sujeto a: 1W + 2G ≤ 40 W ≤ 15 G ≤ 10

Solución paso a paso

  1. Traza las restricciones en el gráfico.
  2. Sombrea la región factible, que está delimitada por los obstáculos.
  3. Identifica los puntos de esquina de la región factible.
  4. Calcula el valor de la función objetivo en cada punto de esquina.
  5. El valor máximo o mínimo resolverá el problema.

Gráfico para el problema de ejemplo

(15,0) (10,10) (0,10)

La región factible está sombreada en azul, y los puntos de esquina son: (0,0), (15,0), (10,10), y (0,10).

Cálculos en puntos de esquina

  • En (0,0): Z = 20*0 + 30*0 = 0
  • En (15,0): Z = 20*15 + 30*0 = 300
  • En (10,10): Z = 20*10 + 30*10 = 500
  • En (0,10): Z = 20*0 + 30*10 = 300

El valor máximo de Z es 500, que se encuentra en el punto (10,10). Por lo tanto, producir 10 widgets y 10 gadgets maximiza el beneficio bajo las restricciones dadas.

Aplicaciones de la programación lineal

La programación lineal se utiliza ampliamente en diversas industrias y campos. Aquí hay algunos ejemplos donde se puede aplicar la programación lineal:

  • Fabricación: Decidir la combinación de diferentes productos a producir en una fábrica para maximizar los beneficios o minimizar los costos, teniendo en cuenta los recursos, la mano de obra y el tiempo de máquina.
  • Transporte: Optimizar las rutas de transporte para minimizar el costo o el tiempo en la entrega de mercancías desde los almacenes a varias ubicaciones.
  • Problemas dietéticos: Determinar la combinación más rentable de alimentos que satisfagan todos los requisitos nutricionales.
  • Inversiones: Asignar una cartera para equilibrar riesgo y retorno maximizando las rentabilidades dentro de restricciones dadas como horizontes financieros.

Métodos avanzados más allá del método gráfico

Si bien el método gráfico es excelente para resolver problemas de dos variables, los problemas de programación lineal del mundo real a menudo involucran más variables y restricciones. Para estos, se usan métodos computacionales más avanzados:

Método Simplex

El método simplex es un enfoque algorítmico para resolver problemas de programación lineal con más de dos variables. Funciona en el principio de evaluar los puntos vértice en la región factible y visitar vértices adyacentes para encontrar la solución óptima.

Método Dual Simplex

Similar al método simplex, el método dual simplex se utiliza cuando el problema no es inicialmente factible, pero se vuelve factible mediante el ajuste de las restricciones.

Método de punto interior

Una alternativa a los métodos simplex, el método de punto interior es eficiente para manejar problemas de programación lineal a gran escala. En lugar de recorrer la región factible borde por borde, recorre el interior de las regiones factibles.

Cosas importantes a recordar

Aquí hay algunos puntos importantes al tratar con la programación lineal:

  • La función objetivo y las restricciones deben ser expresiones lineales.
  • La pendiente de la función objetivo y las restricciones juega un papel importante en la determinación de la región factible.
  • La inviabilidad significa que ninguna solución puede satisfacer todas las restricciones.
  • Las soluciones no acotadas ocurren cuando la región factible se extiende indefinidamente, llevando a la maximización o minimización infinita.

Conclusión

La programación lineal es una técnica poderosa en la optimización matemática que se utiliza en una variedad de problemas de la vida real. Proporciona una manera sistemática y eficiente de asignar recursos de la mejor manera posible. La comprensión completa requiere dominar tanto la geometría de las regiones factibles como el álgebra de las restricciones y funciones objetivo. Practicar con varios ejemplos fortalece la comprensión y desarrolla habilidades para resolver problemas.


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