Класс 12
  1. Введение в алгебру  1.1. Матрицы  1.1.1. Определение и типы матриц  1.1.2. Операции с матрицами  1.1.3. Транспонирование матрицы  1.1.4. Определители и их свойства  1.1.5. Обратная матрица  1.1.6. Решение линейных уравнений с помощью матриц  1.1.7. Применение матриц  1.2. Комплексные числа  1.2.1. Определение и представление комплексных чисел  1.2.2. Понимание алгебры комплексных чисел  1.2.3. Модуль и аргумент комплексных чисел  1.2.4. Введение в комплексные числа  1.2.5. Теорема Муавра  1.2.6. Корни комплексных чисел  1.2.7. Приложения в геометрии  1.3. Векторы и 3D геометрия  1.3.1. Векторная алгебра  1.3.2. Скалярное и векторное произведения  1.3.3. Уравнение прямой в пространстве  1.3.4. Уравнение плоскости в векторах и 3D геометрии  1.3.5. Расстояние между линиями и плоскостями  1.3.6. Угол между прямыми и плоскостями
  2. Вычисления  2.1. Пределы и непрерывность  2.1.1. Понятие границ  2.1.2. Продолжение работ  2.1.3. Виды разрывов  2.1.4. Понимание ограничений левой и правой руки  2.2. Дискриминация  2.2.1. Производная как скорость изменения  2.2.2. Техники дифференцирования  2.2.3. Производные высших порядков  2.2.4. Применение производных  2.2.5. Касательная и нормаль  2.2.6. Возрастательные и убывающие функции  2.3. Интеграция  2.3.1. Неопределенный интеграл  2.3.2. Опрелеленный интеграл  2.3.3. Техники интеграции  2.3.4. Понимание площади под кривой в интегрировании  2.3.5. Применение интегралов в геометрии  2.4. Дифференциальные уравнения  2.4.1. Формирование дифференциальных уравнений  2.4.2. Порядок и степень дифференциальных уравнений  2.4.3. Решения дифференциальных уравнений  2.4.4. Применение дифференциальных уравнений  2.4.5. Введение в линейные дифференциальные уравнения первого порядка
  3. Вероятность и статистика  3.1. Понимание вероятности  3.1.1. Понимание условной вероятности  3.1.2. Теорема Байеса  3.1.3. Понимание случайных величин в теории вероятностей и статистике  3.1.4. Распределения вероятностей  3.1.5. Биномиальное и нормальное распределение  3.2. Фигуры  3.2.1. Среднее и стандартное отклонение  3.2.2. Дисперсия и ковариация  3.2.3. Корреляция и регрессия  3.2.4. Понимание проверки гипотез в статистике
  4. Линейное программирование  4.1. Графический метод в линейном программировании  4.1.1. Понимание допустимых и недопустимых областей в линейном программировании  4.1.2. Оптимальное решение в графическом методе линейного программирования  4.1.3. Анализ чувствительности в графическом методе  4.2. Метод симплекс  4.2.1. Формулировка задач в методе симплекс  4.2.2. Решение задач линейного программирования с использованием метода симплекс  4.2.3. Метод двойственного симплекса
  5. Отношения и функции  5.1. Типы отношений  5.1.1. Рефлексивное отношение  5.1.2. Симметричные отношения  5.1.3. Понимание транзитивных отношений  5.1.4. Отношение эквивалентности  5.2. Типы задач  5.2.1. Отображение на  5.2.2. Функция взаимно однозначного соответствия  5.2.3. Обратная функция  5.2.4. Совместная работа  5.3. Обратные тригонометрические функции  5.3.1. Основные значения в обратных тригонометрических функциях  5.3.2. Свойства и графики обратных тригонометрических функций  5.3.3. Применения в анализе
  6. Продвинутая тригонометрия  6.1. Введение в тригонометрические уравнения  6.1.1. Общие решения уравнений в тригонометрических уравнениях  6.1.2. Формула преобразования  6.2. Гиперболические функции  6.2.1. Определения и свойства гиперболических функций  6.2.2. Связь между гиперболическими и тригонометрическими функциями
  7. Арифметическая логика  7.1. Логическое мышление  7.1.1. Утверждения и логические связки  7.1.2. Тавтология и противоречие  7.2. Доказательство  7.2.1. Прямое доказательство  7.2.2. Непрямые доказательства  7.2.3. Доказательство от противного  7.2.4. Доказательство методом математической индукции
  8. Применение математики  8.1. Применения исчисления  8.1.1. Проблемы максимума и минимума  8.1.2. Приложения экономики и биологии  8.1.3. Скорость изменения в физике  8.2. Применение вероятности  8.2.1. Анализ риска  8.2.2. Принятие решений в приложениях вероятности  8.2.3. Теория игр

Класс 12 → Линейное программирование → Метод симплекс ↓


Формулировка задач в методе симплекс


Линейное программирование — это математический метод, используемый для эффективного распределения ограниченных ресурсов с учетом определенных ограничений. Метод симплекс — один из самых популярных методов решения задач линейного программирования. Но прежде чем вы сможете применять метод симплекс, необходимо научиться правильно формулировать задачу. Формулировка задачи включает в себя изложение ее в математической форме с помощью целевой функции и набора ограничений.

Понимание линейного программирования

Линейное программирование связано с проблемой максимизации или минимизации линейной целевой функции при соблюдении набора линейных ограничений (равенств или неравенств). Общая форма задачи линейного программирования может быть записана следующим образом:

Максимум (или минимум): c 1 x 1 + c 2 x 2 + ... + c n x n
При соблюдении ограничений:
a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n <= b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n <= b 2
,
a m1 x 1 + a m2 x 2 + ... + a mn x n <= b m
и ограничения неотрицательности:

x 1 , x 2 , ..., x n >= 0

Где:

  • c i — коэффициенты целевой функции.
  • a ij — коэффициенты ограничений.
  • b i — значения правой части ограничений.
  • x i — регулируемые переменные.

Поэтапная формулировка проблемы

Чтобы сформулировать задачу линейного программирования с использованием метода симплекс, выполните следующие шаги:

Определите регулируемые переменные

Первый шаг заключается в определении величин, которые вы хотите определить, известных как регулируемые переменные. Они должны быть логичными и иметь экономический смысл. Например, если компания производит два продукта, A и B, регулируемыми переменными могут быть количество производимых единиц A и B, обозначаемое как x A и x B соответственно.

Запишите целевую функцию

Целевая функция — это формула, которую необходимо максимизировать или минимизировать. Она отражает цель задачи линейного программирования. Например, если каждый продукт A приносит прибыль в размере $40, а продукт B — $30, то целевая функция для максимизации прибыли будет выглядеть следующим образом:

Макс: 40x A + 30x B

Создайте ограничения

Ограничения — это условия, которые необходимо выполнить, и обычно они выражаются как неравенства. Они представляют собой ограничения или пределы для регулируемых переменных. Продолжая вышеприведенный пример, предположим, что существуют ограничения на ресурсы, такие как ограничения по рабочим часам и материалам. Эти ограничения могут быть выражены следующим образом:

2x A + 3x B <= 100 (рабочие часы)
x A + x B <= 75 (содержание)

Обеспечьте неотрицательность

Регулируемые переменные не должны иметь отрицательных значений. В экономических сценариях это очевидное условие, потому что нельзя произвести отрицательное количество продукции. Ограничения на неотрицательность будут такими:

x A >= 0

x B >= 0

Практический пример

Рассмотрим практический пример для разъяснения шагов формулировки задачи:

Пример: Производитель выпускает два типа гаджетов: gizmos и gadgets. Для их производства требуются некоторые ресурсы, а цель состоит в максимизации прибыли. Вот доступная информация:

  • Прибыль от Gizmo: $5 за единицу
  • Прибыль от Gadget: $7 за единицу
  • Максимально доступные часы производства: 40 часов в неделю
  • Максимально доступное содержание: 20 единиц в неделю
  • На изготовление Gizmo требуется 2 часа и 1 единица материалов
  • На Gadget требуется 1 час и 3 единицы материалов

Формулировка задачи

Определите регулируемые переменные:

x 1 = количество произведенных gizmos
x 2 = количество произведенных gadgets

Запишите целевую функцию (функцию прибыли):

Максимум: 5x 1 + 7x 2

Создайте ограничения на основе ресурсов:

2x 1 + 1x 2 <= 40 (производственные часы)
1x 1 + 3x 2 <= 20 (содержание)

Ограничения на неотрицательность:

x 1 >= 0

x 2 >= 0
x 1 x 2 2x 1 + x 2 = 40 x 1 + 3x 2 = 20

Допустимая область, где выполняются все ограничения, — это пересечение, ограниченное заштрихованной областью на графике.

Решение сформулированной задачи с помощью метода симплекс

После того как задача сформулирована, ее можно решить с помощью метода симплекс. Однако цель этого объяснения заключается в том, чтобы сосредоточиться на формулировке задач линейного программирования, поэтому мы пока не будем углубляться в детали алгоритма. Метод симплекс перемещается от одной вершины допустимой области к другой вершине с более благоприятным значением целевой функции до тех пор, пока не будет достигнуто максимальное или минимальное значение.

Важность формулировки задачи

Правильная формулировка важна, потому что неправильно определенная задача приведет к неправильному решению. Вышеуказанные шаги гарантируют, что каждый аспект сценария учитывается и переводится в математические выражения. Проблемы при формулировке задач часто возникают из-за недопонимания реальных сценариев или игнорирования ограничений. Правильное определение регулируемых переменных, целевой функции и ограничений гарантирует, что метод симплекс сможет эффективно найти лучшее решение.

Кроме того, правильно сформулированные задачи можно легко донести до других, обеспечивая понимание заинтересованными сторонами проблемы и предложенного решения. Эта прозрачность имеет ключевое значение для принятия бизнес-решений, где линейное программирование находит широкое применение: от производства и транспортировки до финансов и других отраслей.

Также важно помнить, что не все задачи могут быть полностью смоделированы линейными функциями из-за присущей им сложности. В таких случаях линейное программирование предоставляет аппроксимацию, которая все равно может привести к практическим решениям.

Завершение учебного процесса

Формулировка задач в методе симплекс линейного программирования включает в себя понимание задачи, преобразование ее в алгебраические выражения и понимание того, как эти математические представления служат основой для современных методов, решающих сложные реальные задачи. Овладение формулировкой задачи — это важный шаг перед применением алгоритмов или вычислительных методов.

Изучение и практическое применение этих навыков на начальном уровне позволит развить более глубокое понимание и способность решать более сложные задачи линейного программирования по мере вашего продвижения. Более того, эти основные шаги отражают тщательное исследование и аналитическое мышление, которые являются ценными как в академических, так и в профессиональных условиях.


Класс 12 → 4.2.1


U
username
0%
завершено в Класс 12

← предыдущая (4.2)
Метод симплекс
следующая (4.2.2) →
Решение задач линейного программирования с использованием метода симплекс

комментарии 



Формулировка задач в методе симплекс

https://www.buddymath.com/g12/4.2.1?bmal=ru