12º ano
  1. Introdução à Álgebra  1.1. Matrizes  1.1.1. Definição e tipos de matrizes  1.1.2. Operações em matrizes  1.1.3. Transposição de uma matriz  1.1.4. Determinantes e suas propriedades  1.1.5. Inverso de uma matriz  1.1.6. Resolvendo equações lineares usando matrizes  1.1.7. Aplicações de matrizes  1.2. Números complexos  1.2.1. Definição e representação de números complexos  1.2.2. Compreendendo a álgebra dos números complexos  1.2.3. Módulo e argumento de números complexos  1.2.4. Introdução aos números complexos  1.2.5. Teorema de De Moivre  1.2.6. Raízes de números complexos  1.2.7. Aplicações em geometria  1.3. Vetores e geometria 3D  1.3.1. Álgebra vetorial  1.3.2. Produto escalar e vetorial  1.3.3. Equação de uma linha no espaço  1.3.4. Equação de um plano em vetores e geometria 3D  1.3.5. Distância entre retas e planos  1.3.6. Ângulo entre linhas e planos
  2. Cálculos  2.1. Limites e continuidade  2.1.1. O conceito de limites  2.1.2. Continuação das obras  2.1.3. Tipos de descontinuidade  2.1.4. Compreendendo as limitações da mão esquerda e da mão direita  2.2. Discriminação  2.2.1. Derivado como taxa de variação  2.2.2. Técnicas de diferenciação  2.2.3. Derivadas de ordem superior  2.2.4. Aplicações de derivadas  2.2.5. Tangente e normal  2.2.6. Funções crescentes e decrescentes  2.3. Integração  2.3.1. Integral indefinida  2.3.2. Integral definida  2.3.3. Técnicas de integração  2.3.4. Compreendendo a área sob a curva na integração  2.3.5. Aplicações de integrais em geometria  2.4. Equações Diferenciais  2.4.1. Formação de equações diferenciais  2.4.2. Ordem e grau de equações diferenciais  2.4.3. Soluções de equações diferenciais  2.4.4. Aplicações de equações diferenciais  2.4.5. Introdução às equações diferenciais lineares de primeira ordem
  3. Probabilidade e estatística  3.1. Compreendendo a Probabilidade  3.1.1. Compreendendo a probabilidade condicional  3.1.2. Teorema de Bayes  3.1.3. Compreendendo variáveis aleatórias em probabilidade e estatística  3.1.4. Distribuições de probabilidade  3.1.5. Distribuição binomial e normal  3.2. Figuras  3.2.1. Média e desvio padrão  3.2.2. Variância e covariância  3.2.3. Correlação e regressão  3.2.4. Compreendendo o teste de hipóteses em estatística
  4. Programação linear  4.1. Método gráfico em programação linear  4.1.1. Compreendendo regiões viáveis e inviáveis em programação linear  4.1.2. Solução ótima no método gráfico de programação linear  4.1.3. Análise de sensibilidade no método gráfico  4.2. Método Simplex  4.2.1. Formulação de problemas no método simplex  4.2.2. Resolvendo problemas de programação linear usando o método simplex  4.2.3. Método dual do simplex
  5. Relações e funções  5.1. Tipos de relações  5.1.1. Relação reflexiva  5.1.2. Relações simétricas  5.1.3. Compreendendo relações transitivas  5.1.4. Relação de equivalência  5.2. Tipos de tarefas  5.2.1. Função sobrejetora  5.2.2. Função um-para-um  5.2.3. Função inversa  5.2.4. Trabalho conjunto  5.3. Funções trigonométricas inversas  5.3.1. Valores principais em funções trigonométricas inversas  5.3.2. Propriedades e gráficos das funções trigonométricas inversas  5.3.3. Aplicações em cálculo
  6. Trigonometria avançada  6.1. Introdução às equações trigonométricas  6.1.1. Soluções gerais de equações em equações trigonométricas  6.1.2. Fórmula de transformação  6.2. Funções hiperbólicas  6.2.1. Definições e propriedades das funções hiperbólicas  6.2.2. Relação entre funções hiperbólicas e trigonométricas
  7. Lógica aritmética  7.1. Raciocínio lógico  7.1.1. Declarações e conectivos lógicos  7.1.2. Tautologia e contradição  7.2. Evidência  7.2.1. Evidência direta  7.2.2. Evidência indireta  7.2.3. Prova por contradição  7.2.4. Prova por indução matemática
  8. Aplicações da Matemática  8.1. Aplicações do cálculo  8.1.1. Problemas de máximo e mínimo  8.1.2. Aplicações de economia e biologia  8.1.3. Taxa de variação na física  8.2. Aplicações de Probabilidade  8.2.1. Análise de risco  8.2.2. Tomada de decisão em aplicações de probabilidade  8.2.3. Teoria dos jogos

12º ano → Programação linear → Método Simplex ↓


Formulação de problemas no método simplex


A programação linear é um método matemático usado para alocar recursos escassos de forma eficiente sob certas restrições. O método simplex é uma das técnicas mais populares para resolver problemas de programação linear. Mas antes de aplicar o método simplex, é preciso aprender a formular o problema corretamente. Formular um problema envolve expressá-lo matematicamente com uma função objetivo e um conjunto de restrições.

Compreendendo a programação linear

A programação linear trata do problema de maximizar ou minimizar uma função objetivo linear, sujeita a um conjunto de restrições lineares (igualdade ou desigualdade). A forma geral do problema de programação linear pode ser escrita como:

Máximo (ou mínimo): c 1 x 1 + c 2 x 2 + ... + c n x n
Sujeito a restrições:
a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n <= b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n <= b 2
,
a m1 x 1 + a m2 x 2 + ... + a mn x n <= b m
e as restrições de não negatividade:

x 1 , x 2 , ..., x n >= 0

Onde:

  • c i representa os coeficientes da função objetivo.
  • a ij representam os coeficientes das restrições.
  • b i denota os valores do lado direito das restrições.
  • x i são as variáveis de decisão.

Formulação passo a passo do problema

Para formular um problema de programação linear usando o método simplex, siga estas etapas:

Identifique as variáveis de decisão

A primeira etapa é identificar quais quantidades você está tentando determinar, conhecidas como variáveis de decisão. Elas devem ser lógicas e fazer sentido econômico. Por exemplo, se uma empresa fabrica dois produtos, A e B, as variáveis de decisão podem ser o número de unidades de A e B produzidas, representadas por x A e x B, respectivamente.

Escreva a função objetivo

A função objetivo é a fórmula que deve ser maximizada ou minimizada. Ela reflete o objetivo do problema de programação linear. Por exemplo, se cada unidade do produto A traz um lucro de $40 e o produto B traz um lucro de $30, então a função objetivo para maximizar o lucro seria:

Max: 40x A + 30x B

Crie restrições

As restrições são condições que devem ser satisfeitas e geralmente são desigualdades. Elas representam restrições ou limites para as variáveis de decisão. Continuando com o exemplo anterior, suponha que existam restrições de recursos, como limites de horas de trabalho disponíveis e materiais. Essas restrições podem ser expressas como:

2x A + 3x B <= 100 (horas de trabalho)
x A + x B <= 75 (conteúdos)

Assegure a não negatividade

As variáveis de decisão não devem ter valores negativos. Em cenários econômicos, essa condição é óbvia, pois não se pode produzir um número negativo de produtos. As restrições de não negatividade seriam:

x A >= 0

x B >= 0

Um exemplo prático

Vamos ver um exemplo prático para esclarecer as etapas da formulação de problemas:

Exemplo: Um fabricante produz dois tipos de dispositivos: gizmos e gadgets. Estes requerem alguns recursos para serem fabricados, e o objetivo é maximizar os lucros. Aqui estão as informações disponíveis:

  • Lucro do Gizmo: $5 por unidade
  • Lucro do gadget: $7 por unidade
  • Máximo de horas de fabricação disponíveis: 40 horas por semana
  • Máximo de conteúdo disponível: 20 unidades por semana
  • O gizmo leva 2 horas e 1 unidade de materiais para ser construído
  • O gadget requer 1 hora e 3 unidades de materiais

Formulação do problema

Identificar as variáveis de decisão:

x 1 = número de gizmos produzidos
x 2 = Número de gadgets produzidos

Escreva a função objetivo (função lucro):

Máximo: 5x 1 + 7x 2

Crie restrições baseadas em recursos:

2x 1 + 1x 2 <= 40 (horas de fabricação)
1x 1 + 3x 2 <= 20 (conteúdos)

Restrições de não negatividade:

x 1 >= 0

x 2 >= 0
x 1 x 2 2x 1 + x 2 = 40 x 1 + 3x 2 = 20

A região viável, onde todas as restrições são satisfeitas, é a interseção delimitada pela área sombreada no gráfico.

Resolvendo um problema formulado usando o método simplex

Uma vez formulado o problema, ele pode ser resolvido usando o método simplex. No entanto, o objetivo desta explicação é focar na formulação de problemas de programação linear, portanto, não nos aprofundaremos nos detalhes do algoritmo ainda. O método simplex move-se de um vértice da região viável para outro vértice com um valor mais favorável da função objetivo até que o valor máximo ou mínimo seja alcançado.

A importância da formulação do problema

A formulação correta é importante porque um problema mal definido levará a uma solução errada. As etapas acima garantem que cada aspecto do cenário seja considerado e traduzido em expressões matemáticas. Os desafios na formulação de problemas geralmente surgem de um mal-entendido dos cenários do mundo real ou da ignorância das restrições. Identificar corretamente as variáveis de decisão, função objetivo e restrições garante que o método simplex possa encontrar efetivamente a melhor solução.

Além disso, problemas devidamente formulados podem ser facilmente comunicados a outros, garantindo que as partes interessadas compreendam o problema e a solução proposta. Essa transparência é crucial para a tomada de decisões comerciais, onde a programação linear tem ampla aplicação, desde manufatura e transporte até finanças e além.

Também é importante lembrar que nem todos os problemas podem ser totalmente modelados por funções lineares devido às complexidades inerentes. Nessas instâncias, a programação linear fornece uma aproximação que ainda pode gerar decisões práticas.

Conclusão da jornada de aprendizagem

A formulação de problemas no método simplex de programação linear envolve compreender o problema, transformá-lo em expressões algébricas e entender como essas representações matemáticas servem como base para técnicas avançadas que resolvem problemas complexos do mundo real. Dominar a formulação de problemas é um passo essencial antes de aplicar algoritmos ou métodos computacionais.

Aprender e praticar essas habilidades em um nível básico desenvolverá uma compreensão mais profunda e a capacidade de resolver problemas de programação linear mais complexos à medida que você avança. Além disso, essas etapas básicas refletem a pesquisa cuidadosa e o pensamento analítico que são inestimáveis em contextos acadêmicos e profissionais.


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Formulação de problemas no método simplex

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