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सिंप्लेक्स विधि में समस्याओं का गठन
रेखीय प्रोग्रामिंग एक गणितीय विधि है जो कुछ बाधाओं के तहत सीमित संसाधनों का कुशलता से आवंटन करने के लिए उपयोग की जाती है। सिंप्लेक्स विधि रेखीय प्रोग्रामिंग समस्याओं को हल करने के लिए सबसे लोकप्रिय तकनीकों में से एक है। लेकिन इससे पहले कि आप सिंप्लेक्स विधि लागू कर सकें, आपको यह सीखना होगा कि समस्या को सही ढंग से कैसे तैयार करें। समस्या का गठन उसे लक्ष्यीय फ़ंक्शन और बाधाओं के सेट के साथ गणितीय रूप से व्यक्त करने से संबंधित है।
रेखीय प्रोग्रामिंग को समझना
रेखीय प्रोग्रामिंग रेखीय उद्देश्य फ़ंक्शन को अधिकतम या न्यूनतम करने की समस्या से संबंधित है, जो रेखीय बाधाओं (समानता या असमानता) के एक सेट के अधीन होती है। रेखीय प्रोग्रामिंग समस्या का सामान्य रूप इस प्रकार लिखा जा सकता है:
अधिकतम (या न्यूनतम):c 1 x 1 + c 2 x 2 + ... + c n x nबाधाओं के अधीन:a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n <= b 1a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n <= b 2,a m1 x 1 + a m2 x 2 + ... + a mn x n <= b mऔर गैर-नकारात्मकता बाधाएँ:x 1 , x 2 , ..., x n >= 0
जहां:
c iउद्देश्य फ़ंक्शन के गुणांक का प्रतिनिधित्व करता है।a ijबाधाओं के गुणांक का प्रतिनिधित्व करते हैं।b iबाधाओं के दाईं तरफ के मानों को दर्शाता है।x iनिर्णय चर हैं।
समस्या निर्माण का चरण-दर-चरण प्रक्रिया
सिंप्लेक्स विधि का उपयोग करके रेखीय प्रोग्रामिंग समस्या को तैयार करने के लिए निम्नलिखित चरणों का पालन करें:
निर्णय चर की पहचान करें
पहला कदम यह पहचानना है कि आप कौन सी मात्राएं निर्धारित करने की कोशिश कर रहे हैं, जिन्हें निर्णय चर कहा जाता है। उन्हें तार्किक और आर्थिक दृष्टिकोण से समझ में आना चाहिए। उदाहरण के लिए, यदि कोई कंपनी दो उत्पाद, ए और बी का निर्माण करती है, तो निर्णय चर हो सकते हैं कि ए और बी के कितने इकाइयों का उत्पादन किया जाए, जिन्हें क्रमशः x A और x B के रूप में प्रस्तुत किया गया है।
लक्ष्यीय फ़ंक्शन लिखें
लक्ष्यीय फंक्शन वह सूत्र है जिसे अधिकतम या न्यूनतम किया जाना है। यह रेखीय प्रोग्रामिंग समस्या के लक्ष्य को प्रतिबिंबित करता है। उदाहरण के लिए, यदि उत्पाद ए की प्रत्येक इकाई $40 का मुनाफा लाती है और उत्पाद बी $30 का मुनाफा लाता है, तो अधिकतम मुनाफे के लिए लक्ष्यीय फंक्शन होगा:
अधिकतम: 40x A + 30x B बाधाएँ बनाएं
बाधाएँ वे शर्तें हैं जिन्हें पूरा किया जाना चाहिए और ये आमतौर पर असमानताएँ होती हैं। वे निर्णय चरों पर प्रतिबंध या सीमाएँ दर्शाती हैं। पिछली उदाहरण से जारी रखते हुए, मान लें कि संसाधनों पर कुछ प्रतिबंध हैं, जैसे सीमित उपलब्ध श्रम घंटे और सामग्री। इन बाधाओं को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
2x A + 3x B <= 100(श्रम घंटे)x A + x B <= 75(सामग्री)
गैर-नकारात्मकता सुनिश्चित करें
निर्णय चर के मान नकारात्मक नहीं हो सकते। आर्थिक परिप्रेक्ष्य में, यह शर्त स्पष्ट है क्योंकि आप उत्पादों की नकारात्मक संख्या का उत्पादन नहीं कर सकते। गैर-नकारात्मकता बाधाएँ इस प्रकार होंगी:
x A >= 0x B >= 0
एक व्यावहारिक उदाहरण
आइए एक व्यावहारिक उदाहरण पर नजर डालते हैं ताकि समस्या निर्माण के चरणों को स्पष्ट किया जा सके:
उदाहरण: एक निर्माता दो प्रकार की वस्तुओं का निर्माण करता है: गिजमो और गैजेट्स। इन्हें निर्माण के लिए कुछ संसाधनों की आवश्यकता होती है, और लक्ष्य मुनाफे को अधिकतम करना है। यहां उपलब्ध जानकारी:
- गिजमो से मुनाफा: प्रति यूनिट $5
- गैजेट से मुनाफा: प्रति यूनिट $7
- उपलब्ध अधिकतम निर्माण घंटे: 40 घंटे प्रति सप्ताह
- उपलब्ध अधिकतम सामग्री: 20 यूनिट प्रति सप्ताह
- गिजमो बनाने में 2 घंटे और 1 यूनिट सामग्री लगती है
- गैजेट्स की आवश्यकता: 1 घंटा और 3 यूनिट सामग्री
समस्या का गठन
निर्णय चर की पहचान:
x 1= उत्पादित गिजमोस की संख्याx 2= उत्पादित गैजेट्स की संख्या
लक्ष्यीय फ़ंक्शन (मुनाफा फ़ंक्शन) लिखें:
अधिकतम: 5x 1 + 7x 2 संसाधनों के आधार पर बाधाएँ बनाएं:
2x 1 + 1x 2 <= 40(निर्माण घंटे)1x 1 + 3x 2 <= 20(सामग्री)
गैर-नकारात्मकता बाधाएँ:
x 1 >= 0x 2 >= 0
संभाव्य क्षेत्र, जहां सभी बाधाएं संतुष्ट हैं, ग्राफ में छायांकित क्षेत्र द्वारा सीमित का अंतः क्रिया है।
सिंप्लेक्स विधि का उपयोग करके एक तैयार समस्या का समाधान
एक बार समस्या तैयार हो जाने के बाद इसे सिंप्लेक्स विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है। हालांकि, इस व्याख्या का उद्देश्य रेखीय प्रोग्रामिंग समस्याओं के गठन पर ध्यान केंद्रित करना है, इसलिए हम अभी तक एल्गोरिथ्म के विशेष विवरण पर नहीं जाएंगे। सिंप्लेक्स विधि संभाव्य क्षेत्र के एक शीर्ष बिंदु से एक अन्य शीर्ष बिंदु तक चलती है जिसमें उद्देश्य फ़ंक्शन के एक अनुकूल मूल्य का प्रारंभ बिंदु होता है जब तक कि अधिकतम या न्यूनतम मूल्य तक न पहुंचा जाए।
समस्या के गठन का महत्व
उचित गठन महत्वपूर्ण है क्योंकि गलत ढंग से परिभाषित समस्या का समाधान गलत होगा। उपरोक्त चरण यह सुनिश्चित करते हैं कि परिदृश्य का हर पहलू विचाराधीन है और उन्हें गणितीय अभिव्यक्तियों में अनुवादित किया गया है। समस्याओं के गठन में चुनौतियां अक्सर वास्तविक-दुनिया के परिदृश्यों को गलत समझने से या बाधाओं की अनदेखी से उत्पन्न होती हैं। निर्णय चर, लक्ष्यीय फ़ंक्शन और बाधाओं की सही पहचान यह सुनिश्चित करती है कि सिंप्लेक्स विधि प्रभावी रूप से सर्वोत्तम समाधान पा सकती है।
इसके अलावा, सही ढंग से तैयार की गई समस्याओं को आसानी से अन्य लोगों को संप्रेषित किया जा सकता है, यह सुनिश्चित करते हुए कि हितधारक समस्या और प्रस्तावित समाधान को समझें। यह पारदर्शिता व्यापार में निर्णय लेने के लिए महत्वपूर्ण है, जहां रेखीय प्रोग्रामिंग का व्यापक रूप से अनुप्रयोग होता है, जैसे कि निर्माण और परिवहन से लेकर वित्त तक और भी।
यह भी याद रखना महत्वपूर्ण है कि सभी समस्याओं को रेखीय कार्यों द्वारा पूरी तरह से मॉडल नहीं किया जा सकता है उनके स्वाभाविक जटिलताओं के कारण। ऐसे मामलों में, रेखीय प्रोग्रामिंग एक अनुमापन प्रदान करती है जो फिर भी व्यावहारिक निर्णय प्रदान कर सकती है।
शिक्षा यात्रा की समाप्ति
रेखीय प्रोग्रामिंग के सिंप्लेक्स विधि में समस्याओं का गठन समस्या को समझने, उसे बीजगणितीय अभिव्यक्तियों में परिवर्तन करने और यह समझने से संबंधित है कि ये गणितीय प्रतिनिधित्व जटिल वास्तविक-दुनिया की समस्याओं के समाधान के लिए उन्नत तकनीकों के लिए आधार के रूप में कैसे सहायक होते हैं। समस्या निर्माण में निपुणता प्राप्त करना एल्गोरिदम या कम्प्यूटेशनल विधियों को लागू करने से पहले एक आवश्यक कदम है।
इन कौशलों को मूल स्तर पर सीखने और अभ्यास करने से गहरी समझ और जैसे-जैसे आप आगे बढ़ते हैं, अधिक जटिल रेखीय प्रोग्रामिंग समस्याओं को हल करने की क्षमता विकसित होगी। इसके अलावा, ये मूल चरण सावधानीपूर्वक अनुसंधान और विश्लेषणात्मक सोच को दर्शाते हैं जो शैक्षणिक और व्यावसायिक दोनों सेटिंग्स में अमूल्य हैं।
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