Grado 12
  1. Introducción al Álgebra  1.1. Matrices  1.1.1. Definición y tipos de matrices  1.1.2. Operaciones en matrices  1.1.3. Transposición de una matriz  1.1.4. Determinantes y sus propiedades  1.1.5. Inverso de una matriz  1.1.6. Resolución de ecuaciones lineales usando matrices  1.1.7. Aplicaciones de matrices  1.2. Números complejos  1.2.1. Definición y representación de números complejos  1.2.2. Comprensión del álgebra de los números complejos  1.2.3. Módulo y argumento de números complejos  1.2.4. Introducción a los números complejos  1.2.5. Teorema de De Moivre  1.2.6. Raíces de números complejos  1.2.7. Aplicaciones en geometría  1.3. Vectores y geometría 3D  1.3.1. Álgebra de vectores  1.3.2. Producto escalar y vectorial  1.3.3. Ecuación de una línea en el espacio  1.3.4. Ecuación de un plano en vectores y geometría 3D  1.3.5. Distancia entre líneas y planos  1.3.6. Ángulo entre líneas y planos
  2. Cálculos  2.1. Límites y continuidad  2.1.1. Concepto de Límites  2.1.2. Continuación de trabajos  2.1.3. Tipos de discontinuidad  2.1.4. Comprendiendo las limitaciones de la mano izquierda y derecha  2.2. Discriminación  2.2.1. Derivado como tasa de cambio  2.2.2. Técnicas de diferenciación  2.2.3. Derivadas de orden superior  2.2.4. Aplicaciones de las derivadas  2.2.5. Tangente y normal  2.2.6. Funciones crecientes y decrecientes  2.3. Integración  2.3.1. Integral indefinida  2.3.2. Integral definida  2.3.3. Técnicas de integración  2.3.4. Entendiendo el área bajo la curva en integración  2.3.5. Aplicaciones de las integrales en geometría  2.4. Ecuaciones diferenciales  2.4.1. Formación de ecuaciones diferenciales  2.4.2. Orden y grado de las ecuaciones diferenciales  2.4.3. Soluciones de ecuaciones diferenciales  2.4.4. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales  2.4.5. Introducción a las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
  3. Probabilidad y estadística  3.1. Entendiendo la Probabilidad  3.1.1. Comprendiendo la probabilidad condicional  3.1.2. Teorema de Bayes  3.1.3. Comprendiendo las variables aleatorias en probabilidad y estadísticas  3.1.4. Distribuciones de probabilidad  3.1.5. Distribución binomial y normal  3.2. Figuras  3.2.1. Media y desviación estándar  3.2.2. Varianza y covarianza  3.2.3. Correlación y regresión  3.2.4. Comprendiendo la prueba de hipótesis en estadística
  4. Programación lineal  4.1. Método gráfico en programación lineal  4.1.1. Comprendiendo las regiones factibles y no factibles en la programación lineal  4.1.2. Solución óptima en el método gráfico de programación lineal  4.1.3. Análisis de sensibilidad en el método gráfico  4.2. Método simplex  4.2.1. Formulación de problemas en el método del simplex  4.2.2. Resolviendo problemas de programación lineal usando el método simplex  4.2.3. Método del simplejo dual
  5. Relaciones y funciones  5.1. Tipos de relaciones  5.1.1. Relación reflexiva  5.1.2. Relaciones simétricas  5.1.3. Comprendiendo las relaciones transitivas  5.1.4. Relación de equivalencia  5.2. Tipos de tareas  5.2.1. Función sobreyectiva  5.2.2. Función uno a uno  5.2.3. Función inversa  5.2.4. Trabajo conjunto  5.3. Funciones trigonométricas inversas  5.3.1. Valores principales en funciones trigonométricas inversas  5.3.2. Propiedades y gráficos de funciones trigonométricas inversas  5.3.3. Aplicaciones en cálculo
  6. Trigonometría avanzada  6.1. Introducción a las ecuaciones trigonométricas  6.1.1. Soluciones generales de ecuaciones en ecuaciones trigonométricas  6.1.2. Fórmula de transformación  6.2. Funciones hiperbólicas  6.2.1. Definiciones y propiedades de las funciones hiperbólicas  6.2.2. Relación entre funciones hiperbólicas y trigonométricas
  7. Lógica aritmética  7.1. Razonamiento lógico  7.1.1. Declaraciones y conectores lógicos  7.1.2. Tautología y contradicción  7.2. Evidencia  7.2.1. Evidencia directa  7.2.2. Evidencia indirecta  7.2.3. Prueba por contradicción  7.2.4. Prueba por inducción matemática
  8. Aplicaciones de las Matemáticas  8.1. Aplicaciones del cálculo  8.1.1. Problemas de máximos y mínimos  8.1.2. Aplicaciones de la economía y la biología  8.1.3. Tasa de cambio en física  8.2. Aplicaciones de la Probabilidad  8.2.1. Análisis de riesgo  8.2.2. Toma de decisiones en aplicaciones de probabilidad  8.2.3. Teoría de juegos

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Formulación de problemas en el método del simplex


La programación lineal es un método matemático utilizado para asignar eficientemente recursos escasos bajo ciertas restricciones. El método del simplex es una de las técnicas más populares para resolver problemas de programación lineal. Pero antes de poder aplicar el método del simplex, necesitas aprender a formular el problema correctamente. Formular un problema implica expresarlo matemáticamente con una función objetivo y un conjunto de restricciones.

Entendiendo la programación lineal

La programación lineal trata con el problema de maximizar o minimizar una función objetivo lineal, sujeta a un conjunto de restricciones lineales (igualdad o desigualdad). La forma general del problema de programación lineal puede escribirse como:

Máximum (o mínimo): c 1 x 1 + c 2 x 2 + ... + c n x n
Sujeto a restricciones:
a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n <= b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n <= b 2
,
a m1 x 1 + a m2 x 2 + ... + a mn x n <= b m
y las restricciones de no negatividad:

x 1 , x 2 , ..., x n >= 0

Dónde:

  • c i representa los coeficientes de la función objetivo.
  • a ij representan los coeficientes de las restricciones.
  • b i denota los valores del lado derecho de las restricciones.
  • x i son las variables de decisión.

Formulación paso a paso del problema

Para formular un problema de programación lineal utilizando el método del simplex, sigue estos pasos:

Identificar las variables de decisión

El primer paso es identificar qué cantidades estás tratando de determinar, conocidas como las variables de decisión. Deben ser lógicas y tener sentido económico. Por ejemplo, si una empresa fabrica dos productos, A y B, las variables de decisión podrían ser la cantidad de unidades de A y B producidas, representadas como x A y x B, respectivamente.

Escribir la función objetivo

La función objetivo es la fórmula que debe maximizarse o minimizarse. Refleja el objetivo del problema de programación lineal. Por ejemplo, si cada unidad del producto A genera una ganancia de $40 y el producto B genera una ganancia de $30, entonces la función objetivo para maximizar la ganancia sería:

Máx: 40x A + 30x B

Crear obstáculos

Las restricciones son condiciones que deben cumplirse y suelen ser desigualdades. Representan restricciones o límites sobre las variables de decisión. Continuando con el ejemplo anterior, supongamos que hay restricciones de recursos, como límites en las horas de trabajo disponibles y materiales. Estas restricciones pueden expresarse como:

2x A + 3x B <= 100 (horas de trabajo)
x A + x B <= 75 (contenidos)

Asegurar no negatividad

Las variables de decisión no deben tener valores negativos. En escenarios económicos, esta condición es obvia porque no puedes producir un número negativo de productos. Las restricciones de no negatividad serían:

x A >= 0

x B >= 0

Un ejemplo práctico

Veamos un ejemplo práctico para aclarar los pasos en la formulación de problemas:

Ejemplo: Un fabricante produce dos tipos de dispositivos: artilugios y gadgets. Estos requieren algunos recursos para fabricarse, y el objetivo es maximizar las ganancias. Aquí está la información disponible:

  • Ganancia de Artilugios: $5 por unidad
  • Ganancia de Gadget: $7 por unidad
  • Máximas horas de fabricación disponibles: 40 horas por semana
  • Máximo contenido disponible: 20 unidades por semana
  • El artilugio requiere 2 horas y 1 unidad de materiales para fabricarse
  • El gadget requiere 1 hora y 3 unidades de materiales

Formulación del problema

Identificar las variables de decisión:

x 1 = número de artilugios producidos
x 2 = Número de gadgets producidos

Escribir la función objetivo (función de ganancia):

Máximo: 5x 1 + 7x 2

Crear restricciones basadas en recursos:

2x 1 + 1x 2 <= 40 (horas de fabricación)
1x 1 + 3x 2 <= 20 (contenidos)

Restricciones de no negatividad:

x 1 >= 0

x 2 >= 0
x 1 x 2 2x 1 + x 2 = 40 x 1 + 3x 2 = 20

La región factible, donde se satisfacen todas las restricciones, es la intersección delimitada por el área sombreada en el gráfico.

Resolviendo un problema formulado utilizando el método del simplex

Una vez que el problema está formulado, puede resolverse utilizando el método del simplex. Sin embargo, el objetivo de esta explicación es centrarse en la formulación de problemas de programación lineal, por lo que no entraremos en los detalles específicos del algoritmo por el momento. El método del simplex se mueve de un vértice de la región factible a otro vértice con un valor más favorable de la función objetivo hasta que se alcanza el valor máximo o mínimo.

La importancia de la formulación del problema

Una formulación adecuada es importante porque un problema definido incorrectamente llevará a una solución incorrecta. Los pasos anteriores aseguran que cada aspecto del escenario se considere y se traduzca en expresiones matemáticas. Los desafíos en la formulación de problemas a menudo surgen de malentendidos de escenarios del mundo real o de ignorar restricciones. Identificar correctamente las variables de decisión, la función objetivo y las restricciones asegura que el método del simplex pueda encontrar efectivamente la mejor solución.

Además, los problemas correctamente formulados pueden comunicarse fácilmente a otros, asegurando que las partes interesadas comprendan el problema y la solución propuesta. Esta transparencia es crucial para la toma de decisiones empresariales, donde la programación lineal tiene amplias aplicaciones, desde la fabricación y el transporte hasta las finanzas y más allá.

También es importante recordar que no todos los problemas pueden modelarse completamente mediante funciones lineales debido a las complejidades inherentes. En tales casos, la programación lineal proporciona una aproximación que aún puede generar decisiones prácticas.

Finalización del viaje de aprendizaje

La formulación de problemas en el método del simplex de programación lineal implica comprender el problema, transformarlo en expresiones algebraicas y comprender cómo estas representaciones matemáticas sirven como base para técnicas avanzadas que resuelven problemas complejos del mundo real. Dominar la formulación de problemas es un paso esencial antes de aplicar algoritmos o métodos computacionales.

Aprender y practicar estas habilidades a un nivel básico desarrollará una comprensión más profunda y la capacidad de abordar problemas de programación lineal más complejos a medida que avances. Además, estos pasos básicos reflejan una investigación cuidadosa y un pensamiento analítico que son invaluables tanto en entornos académicos como profesionales.


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Formulación de problemas en el método del simplex

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