Графический метод в линейном программировании

Линейное программирование (ЛП) — это математический метод, используемый для оптимизации линейной целевой функции с учетом линейных равенств и линейных неравенств. Целевая функция — это формула, которую нужно максимизировать или минимизировать. Графический метод является одним из самых простых методов решения задачи линейного программирования и полезен для понимания базовых концепций. Это способ решения задач ЛП с двумя переменными через визуальное представление. Давайте разберем графический метод подробно с примерами.

Понимание задачи

В линейном программировании обычная задача заключается в выборе наилучшего сочетания двух действий для максимизации или минимизации определенного результата. Эти действия могут быть чем угодно, например, объемом производства, рабочими часами или даже объемом инвестиций.

Целевая функция

Целевая функция в задаче линейного программирования — это функция, которую мы хотим оптимизировать для достижения максимальной прибыли или минимальной стоимости. Она обычно записывается как:

Z = ax + by

Здесь Z — это цель, которую вы стараетесь достичь, x и y — это переменные решения, а a и b — это константы, определяющие вес каждой переменной в достижении цели.

Ограничения

Ограничения в задаче линейного программирования — это пределы или ограничения на переменные решения. Это могут быть неравенства, ограничивающие значения, которые могут принимать x и y. Например:

2x + 3y ≤ 12

x + y ≥ 3

x ≥ 0

y ≥ 0

Неравенства представляют условия, которые должны быть выполнены для того, чтобы решение считалось допустимым.

Графический метод

Графический метод включает в себя построение каждого ограничения на графике, результатом чего является допустимая область. Оптимальное решение находится на границе этой допустимой области. Вот пошаговый метод решения задач ЛП с использованием графического метода:

Шаг 1: Построение ограничений

Каждое ограничение — это неравенство, которое можно представить в виде прямой на двумерном графике (если у вас две переменные решения). Например, рассмотрим ограничения:

• 2x + 3y ≤ 12
• x + y ≥ 3
• x ≥ 0
• y ≥ 0

Мы можем изобразить эти ограничения, превращая неравенства в равенства, чтобы найти линии:

2x + 3y = 12

x + y = 3

Теперь найдите точки пересечения этих линий. Например, найдем точки пересечения для первого условия:

• Пересечение с осью Y: при x = 0: 3y = 12, поэтому y = 4.
• Пересечение с осью X: при y = 0: 2x = 12, поэтому x = 6.

Эти промежуточные шаги будут выполнены для обоих ограничений перед их построением.

Линии на графике будут выглядеть примерно так:

  
  
  
  2x + 3y = 12
  
  x + y = 3

Шаг 2: Определение допустимой области

После того, как все линии построены, допустимая область — это объединение областей, где все ограничения пересекаются. Она представляет собой все возможные решения, удовлетворяющие всем ограничениям. Обычно это многоугольник или область пересечения, созданная пересечением полуплоскостей, созданных неравенствами.

Заштрихуйте или выделите эту область на вашем графике, так как она будет важна для нахождения оптимальной точки.

Шаг 3: Поиск вершинной точки

Допустимая область определяется своими вершинами или углами многоугольника. Каждая вершина может быть определена путем решения линейных уравнений, которые пересекаются в этой точке. Эти вершины являются возможными кандидатами на решение.

Например, если две линии пересекаются, решите два соответствующих уравнения:

2x + 3y = 12

x + y = 3

Решая эти уравнения одновременно, вы можете найти точки пересечения. Повторите этот процесс, чтобы найти все вершины допустимой области.

Шаг 4: Оценка целевой функции в каждой вершине

Следующий шаг включает в себя оценку целевой функции в каждой вершине допустимой области. Подставьте значения (x, y) каждой вершины в целевую функцию:

Z = ax + by

Вычислите значение Z в каждой вершине, чтобы определить, какая точка максимизирует или минимизирует целевую функцию, как требуется.

Например, если ваши вершины (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) и так далее, вычислите:

• Z1 = ax1 + by1
• Z2 = ax2 + by2
• Z3 = ax3 + by3

Оптимальное решение — это вершина, которая дает максимальное или минимальное значение Z в зависимости от задачи.

Шаг 5: Объяснение решения

Последний шаг заключается в интерпретации решения в контексте исходной задачи, переводе математического решения обратно на реальный язык. Например, если вы решали задачу оптимального объема производства, решение предлагает наилучшее количество для достижения желаемой цели.

Пример задачи

Давайте решим пример задачи с использованием графического метода для иллюстрации шагов.

Описание задачи:

Компания производит два продукта, P1 и P2, с прибылью $3 и $5 за единицу соответственно. Компания хочет максимизировать прибыль. Производство этих продуктов подчиняется следующим ограничениям:

• Каждая единица P1 требует 1 час на обработку, а каждая единица P2 — 2 часа. Всего доступно 10 часов обработки.
• Каждая единица P1 требует 4 часа машинного времени, а каждая единица P2 — 3 часа. Всего доступно 12 часов машинного времени.
• Ограничения неотрицательности: P1 ≥ 0, P2 ≥ 0.

Официальная модель линейного программирования будет выглядеть следующим образом:

• Целевая функция: Z = 3P1 + 5P2 (максимизация прибыли)
• Ограничения:
  • P1 + 2P2 ≤ 10
  • 4P1 + 3P2 ≤ 12
  • P1 ≥ 0
  • P2 ≥ 0

Проектирование ограничений

Преобразуйте неравенства в равенства и найдите точки пересечения для построения на графике:

P1 + 2P2 = 10

• Пересечения: (10, 0), (0, 5)

4P1 + 3P2 = 12

• Пересечения: (3, 0), (0, 4)

Постройте линии и определите допустимую область.

  
  
  
  p1 + 2p2 = 10
  
  4p1 + 3p2 = 12

Нахождение допустимой области

Определите допустимую область, в которой удовлетворяются оба условия вместе с условиями неотрицательности. Эта область представляет собой многоугольник, образованный внутри пересечения этих условий на графике.

Опорная точка

Рассчитайте точки пересечения, решив ограничения одновременно:

P1 + 2P2 = 10

4P1 + 3P2 = 12

Решение:

Чтобы устранить P2, умножьте первое уравнение на 3, а второе на 2:

3P1 + 6P2 = 30

8P1 + 6P2 = 24

Вычтите уравнение:

-5P1 = 6

P1 = 1.2

Подставьте P1 в одно из исходных уравнений, чтобы получить P2:

1.2 + 2P2 = 10

2P2 = 8.8

P2 = 4.4

Таким образом, имеется точка (1.2, 4.4). Найдите все возможные вершины через аналогичные вычисления.

Оценка целевой функции

Вычислите целевую функцию Z = 3P1 + 5P2 в каждой вершине.

• В точке (0, 0): Z = 3(0) + 5(0) = 0
• В точке (10, 0): Z = 3(10) + 5(0) = 30
• В точке (0, 4): Z = 3(0) + 5(4) = 20
• В точке (1.2, 4.4): Z = 3(1.2) + 5(4.4) = 3.6 + 22 = 25.6

Заключение

Наибольшее значение Z достигается в точке (10, 0). Следовательно, оптимальное решение для максимизации прибыли — произвести 10 единиц P1 и 0 единиц P2.

Таким образом, графический метод предоставляет ясный визуальный подход к пониманию того, как изменения влияют на систему, и является отличным способом введения концепций допустимости и оптимизации. Он ограничен задачами с двумя переменными решения, поскольку визуализация становится непрактичной при более чем двух измерениях.

комментарии