12º ano
  1. Introdução à Álgebra  1.1. Matrizes  1.1.1. Definição e tipos de matrizes  1.1.2. Operações em matrizes  1.1.3. Transposição de uma matriz  1.1.4. Determinantes e suas propriedades  1.1.5. Inverso de uma matriz  1.1.6. Resolvendo equações lineares usando matrizes  1.1.7. Aplicações de matrizes  1.2. Números complexos  1.2.1. Definição e representação de números complexos  1.2.2. Compreendendo a álgebra dos números complexos  1.2.3. Módulo e argumento de números complexos  1.2.4. Introdução aos números complexos  1.2.5. Teorema de De Moivre  1.2.6. Raízes de números complexos  1.2.7. Aplicações em geometria  1.3. Vetores e geometria 3D  1.3.1. Álgebra vetorial  1.3.2. Produto escalar e vetorial  1.3.3. Equação de uma linha no espaço  1.3.4. Equação de um plano em vetores e geometria 3D  1.3.5. Distância entre retas e planos  1.3.6. Ângulo entre linhas e planos
  2. Cálculos  2.1. Limites e continuidade  2.1.1. O conceito de limites  2.1.2. Continuação das obras  2.1.3. Tipos de descontinuidade  2.1.4. Compreendendo as limitações da mão esquerda e da mão direita  2.2. Discriminação  2.2.1. Derivado como taxa de variação  2.2.2. Técnicas de diferenciação  2.2.3. Derivadas de ordem superior  2.2.4. Aplicações de derivadas  2.2.5. Tangente e normal  2.2.6. Funções crescentes e decrescentes  2.3. Integração  2.3.1. Integral indefinida  2.3.2. Integral definida  2.3.3. Técnicas de integração  2.3.4. Compreendendo a área sob a curva na integração  2.3.5. Aplicações de integrais em geometria  2.4. Equações Diferenciais  2.4.1. Formação de equações diferenciais  2.4.2. Ordem e grau de equações diferenciais  2.4.3. Soluções de equações diferenciais  2.4.4. Aplicações de equações diferenciais  2.4.5. Introdução às equações diferenciais lineares de primeira ordem
  3. Probabilidade e estatística  3.1. Compreendendo a Probabilidade  3.1.1. Compreendendo a probabilidade condicional  3.1.2. Teorema de Bayes  3.1.3. Compreendendo variáveis aleatórias em probabilidade e estatística  3.1.4. Distribuições de probabilidade  3.1.5. Distribuição binomial e normal  3.2. Figuras  3.2.1. Média e desvio padrão  3.2.2. Variância e covariância  3.2.3. Correlação e regressão  3.2.4. Compreendendo o teste de hipóteses em estatística
  4. Programação linear  4.1. Método gráfico em programação linear  4.1.1. Compreendendo regiões viáveis e inviáveis em programação linear  4.1.2. Solução ótima no método gráfico de programação linear  4.1.3. Análise de sensibilidade no método gráfico  4.2. Método Simplex  4.2.1. Formulação de problemas no método simplex  4.2.2. Resolvendo problemas de programação linear usando o método simplex  4.2.3. Método dual do simplex
  5. Relações e funções  5.1. Tipos de relações  5.1.1. Relação reflexiva  5.1.2. Relações simétricas  5.1.3. Compreendendo relações transitivas  5.1.4. Relação de equivalência  5.2. Tipos de tarefas  5.2.1. Função sobrejetora  5.2.2. Função um-para-um  5.2.3. Função inversa  5.2.4. Trabalho conjunto  5.3. Funções trigonométricas inversas  5.3.1. Valores principais em funções trigonométricas inversas  5.3.2. Propriedades e gráficos das funções trigonométricas inversas  5.3.3. Aplicações em cálculo
  6. Trigonometria avançada  6.1. Introdução às equações trigonométricas  6.1.1. Soluções gerais de equações em equações trigonométricas  6.1.2. Fórmula de transformação  6.2. Funções hiperbólicas  6.2.1. Definições e propriedades das funções hiperbólicas  6.2.2. Relação entre funções hiperbólicas e trigonométricas
  7. Lógica aritmética  7.1. Raciocínio lógico  7.1.1. Declarações e conectivos lógicos  7.1.2. Tautologia e contradição  7.2. Evidência  7.2.1. Evidência direta  7.2.2. Evidência indireta  7.2.3. Prova por contradição  7.2.4. Prova por indução matemática
  8. Aplicações da Matemática  8.1. Aplicações do cálculo  8.1.1. Problemas de máximo e mínimo  8.1.2. Aplicações de economia e biologia  8.1.3. Taxa de variação na física  8.2. Aplicações de Probabilidade  8.2.1. Análise de risco  8.2.2. Tomada de decisão em aplicações de probabilidade  8.2.3. Teoria dos jogos

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Método gráfico em programação linear


Programação Linear (LP) é uma técnica matemática usada para otimizar uma função objetiva linear, sujeita a restrições de igualdade linear e desigualdade linear. A função objetiva é uma fórmula que precisa ser maximizada ou minimizada. O método gráfico é um dos métodos mais simples para resolver um problema de programação linear e é útil para entender os conceitos básicos. É uma maneira de resolver problemas de LP com duas variáveis por meio de representação visual. Vamos entender o método gráfico em detalhes com exemplos.

Compreendendo o problema

Na programação linear, um problema comum é escolher a melhor combinação de duas atividades para maximizar ou minimizar algum resultado. Estas atividades podem ser qualquer coisa que você queira gerenciar, como volume de produção, horas de trabalho ou até mesmo volume de investimento.

Função objetivo

A função objetivo em um problema de programação linear é a função que queremos otimizar para alcançar o máximo lucro ou menor custo. É geralmente escrita como:

Z = ax + by

Aqui, Z é o objetivo que você está tentando alcançar, x e y são as variáveis de decisão, e a e b são constantes que dão a ponderação de cada variável para alcançar o objetivo.

Restrições

Restrições em um problema de programação linear são limites ou restrições nas variáveis de decisão. Estas podem ser desigualdades que restringem os valores que x e y podem assumir. Por exemplo:

2x + 3y ≤ 12
x + y ≥ 3
x ≥ 0
y ≥ 0

Desigualdades representam condições que devem ser atendidas para que uma solução seja considerada viável.

Método gráfico

O método gráfico envolve a plotagem de cada restrição em um gráfico, resultando em uma região viável. A solução ótima está na borda dessa região viável. Aqui está um método passo a passo para resolver problemas de LP usando o método gráfico:

Passo 1: Plotar as restrições

Cada restrição é uma desigualdade que pode ser plotada como uma linha reta em um gráfico 2D (se você tiver duas variáveis de decisão). Por exemplo, considere as restrições:

  • 2x + 3y ≤ 12
  • x + y ≥ 3
  • x ≥ 0
  • y ≥ 0

Podemos graficar essas restrições transformando as desigualdades em igualdades para encontrar as linhas:

2x + 3y = 12
x + y = 3

Agora encontre os interceptos dessas linhas. Por exemplo, vamos encontrar os interceptos para a primeira condição:

  • Intercepto em Y: Defina x = 0: 3y = 12, então y = 4.
  • Intercepto em X: Defina y = 0: 2x = 12, então x = 6.

Esses passos intermediários serão realizados para ambas as restrições antes de plotá-las.

As linhas no gráfico parecerão algo assim:


  
  
  
  2x + 3y = 12
  
  x + y = 3

Passo 2: Determinar a área viável

Uma vez que todas as linhas são desenhadas, a região viável é a área comum onde todas as restrições se sobrepõem. Esta região representa todas as soluções possíveis que satisfazem todas as restrições. Geralmente é um polígono ou uma região de interseção criada pela interseção dos semiplanos criados pelas desigualdades.

Sombrite ou destaque esta área no seu gráfico, pois será importante para encontrar o ponto ótimo.

Passo 3: Encontre o ponto de vértice

A região viável é definida por seus pontos de vértice ou cantos do polígono. Cada vértice pode ser identificado resolvendo as equações lineares que se intersectam naquele ponto. Esses vértices são os possíveis candidatos para a solução.

Por exemplo, se duas linhas se cruzam, resolva duas equações correspondentes:

2x + 3y = 12
x + y = 3

Resolvendo essas equações simultaneamente, você pode encontrar os pontos de interseção. Repita esse processo para encontrar todos os vértices da região viável.

Passo 4: Avalie a função objetivo em cada vértice

O próximo passo envolve avaliar a função objetivo em cada vértice da região viável. Substitua os valores (x, y) de cada vértice na função objetivo:

Z = ax + by

Calcule o valor de Z em cada vértice para encontrar qual ponto maximiza ou minimiza a função objetivo conforme necessário.

Por exemplo, se seus vértices forem (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), etc., calcule:

  • Z1 = ax1 + by1
  • Z2 = ax2 + by2
  • Z3 = ax3 + by3

A solução ótima é o vértice que fornece o valor máximo ou mínimo de Z, dependendo do problema.

Passo 5: Explique a solução

O passo final é interpretar a solução no contexto do problema original, traduzindo a solução matemática de volta em termos do mundo real. Por exemplo, se você estava resolvendo pela quantidade de produção ótima, a solução oferece a melhor quantidade para alcançar o objetivo desejado.

Problema de exemplo

Vamos resolver um problema de exemplo usando o método gráfico para ilustrar os passos.

Descrição do problema:

Uma empresa produz dois produtos, P1 e P2, nos quais há um lucro de $3 e $5 por unidade, respectivamente. A empresa quer maximizar o lucro. A produção desses produtos está sujeita às seguintes restrições:

  • Cada unidade de P1 leva 1 hora para processar, e cada unidade de P2 leva 2 horas. O tempo total de processamento disponível é de 10 horas.
  • Cada unidade de P1 leva 4 horas de tempo de máquina, e cada unidade de P2 leva 3 horas. O tempo total de máquina disponível é de 12 horas.
  • Restrições de não negatividade: P1 ≥ 0, P2 ≥ 0.

O modelo formal de programação linear seria:

  • Função Objetivo: Z = 3P1 + 5P2 (Maximizar Lucro)
  • Restrições:
    • P1 + 2P2 ≤ 10
    • 4P1 + 3P2 ≤ 12
    • P1 ≥ 0
    • P2 ≥ 0

Designing the obstacles

Converta desigualdades em igualdades e encontre os interceptos para plotar no gráfico:

P1 + 2P2 = 10
  • Interceptos: (10, 0), (0, 5)
4P1 + 3P2 = 12
  • Interceptos: (3, 0), (0, 4)

Trace as linhas e identifique a região viável.


  
  
  
  p1 + 2p2 = 10
  
  4p1 + 3p2 = 12

Finding the feasible region

Identifique a região viável onde ambas as condições são satisfeitas juntamente com as condições de não negatividade. Esta região é um polígono formado dentro da interseção dessas condições no gráfico.

Ponto superior

Calcule os pontos de interseção, resolvendo as restrições simultaneamente:

P1 + 2P2 = 10
4P1 + 3P2 = 12

Solução:

Para eliminar P2, multiplique a primeira equação por 3 e a segunda por 2:

3P1 + 6P2 = 30
8P1 + 6P2 = 24

Subtrair a equação:

-5P1 = 6
P1 = 1.2

Substituir P1 em uma das equações originais para obter P2:

1.2 + 2P2 = 10
2P2 = 8.8
P2 = 4.4

Assim, há um ponto (1.2, 4.4) Encontre todos os possíveis pontos de vértices por meio de cálculos semelhantes.

Avaliação da função objetivo

Calcule a função objetivo Z = 3P1 + 5P2 em cada vértice.

  • Em (0, 0): Z = 3(0) + 5(0) = 0
  • Em (10, 0): Z = 3(10) + 5(0) = 30
  • Em (0, 4): Z = 3(0) + 5(4) = 20
  • Em (1.2, 4.4): Z = 3(1.2) + 5(4.4) = 3.6 + 22 = 25.6

Conclusão

O maior valor de Z ocorre em (10, 0). Portanto, a solução ótima para maximizar o lucro é produzir 10 unidades de P1 e 0 unidades de P2.

Em conclusão, o método gráfico fornece uma abordagem visual clara para entender como as mudanças afetam o sistema e é uma excelente maneira de introduzir os conceitos de viabilidade e otimização. É limitado a problemas com duas variáveis de decisão porque a visualização se torna impraticável com mais de duas dimensões.


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