線形計画法におけるグラフ法
線形計画法（LP）は、線形等式および線形不等式制約に従って線形目的関数を最適化するための数学的手法です。目的関数は最大化または最小化する必要がある式です。グラフ法は、線形計画問題を解くための最も単純な方法の1つであり、基本概念を理解するのに役立ちます。これは、2変数のLP問題を視覚的に表現する方法です。例を使用してグラフ法を詳細に理解しましょう。
問題の理解
線形計画法において、一般的な問題は、2つの活動の最良の組み合わせを選択して何らかの結果を最大化または最小化することです。これらの活動は、例えば生産量、労働時間、または投資量など、管理したいものなら何でもかまいません。
目的関数
線形計画問題における目的関数は、最大収益または最小コストを達成するために最適化したい関数です。通常、次のように書かれます：
Z = ax + byここで、Zは達成しようとしている目的、xとyは決定変数であり、aとbは目的を達成するために各変数に与える重みを示す定数です。
制約
線形計画問題における制約は、決定変数に対する制限または制約です。これらはxとyが取ることができる値を制限する不等式です。例えば：
2x + 3y ≤ 12x + y ≥ 3x ≥ 0y ≥ 0不等式は、解が実行可能と見なされるために満たす必要がある条件を表します。
グラフ法
グラフ法では、各制約をグラフにプロットし、実行可能な領域が生成されます。最適解は、この実行可能領域の境界上にあります。ここでは、グラフ法を使用してLP問題を解くためのステップバイステップの方法を紹介します：
ステップ1: 制約をプロットする
各制約は、2変数がある場合は2次元グラフに直線としてプロットできる不等式です。例えば、次の制約を考えます：
2x + 3y ≤ 12x + y ≥ 3x ≥ 0y ≥ 0
これらの制約をプロットするために、不等式を等式に変えて直線を求めます：
2x + 3y = 12x + y = 3次に、これらの直線の切片を見つけます。例えば、最初の条件に対する切片を見つけます：
- Y切片:
x = 0とすると、3y = 12、ゆえにy = 4。 - X切片:
y = 0とすると、2x = 12、ゆえにx = 6。
これらの中間ステップは、両方の制約に対して行われ、それらをプロットする前に行われます。
グラフ上の直線は次のようになります：
2x + 3y = 12 x + y = 3
ステップ2: 実行可能領域を決定する
すべての直線が描かれたら、実行可能領域はすべての制約が重なる共通領域です。この領域は、すべての制約を満たす可能な解を表します。通常、これは不等式によって生成された半平面の交差によって作られるポリゴンまたは交差領域です。
この領域をグラフ上でシェードまたはハイライトし、最適なポイントを見つけるために重要です。
ステップ3: 頂点を見つける
実行可能領域は、その頂点またはポリゴンの角によって定義されます。各頂点は、その点で交差する線形方程式を解くことで特定されます。これらの頂点は解の可能性ある候補です。
例えば、2本の線が交差する場合、次の一致する方程式を解きます：
2x + 3y = 12x + y = 3これらの方程式を同時に解くことで、交点を見つけることができます。このプロセスを繰り返して、実行可能領域のすべての頂点を見つけます。
ステップ4: 各頂点で目的関数を評価する
次のステップでは、実行可能領域の各頂点で目的関数を評価します。各頂点の(x, y)値を目的関数に代入します：
Z = ax + by目的関数を最大化または最小化するために必要な値を見つけるために、各頂点でZの値を計算します。
例えば、頂点が(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)などである場合、次のように計算します：
Z1 = ax1 + by1Z2 = ax2 + by2Z3 = ax3 + by3
最適解は、問題に応じてZの最大または最小値を提供する頂点です。
ステップ5: 解を説明する
最後のステップは、元の問題の文脈で解を解釈し、数学的解を実世界の用語に翻訳することです。例えば、最適な生産量を求める問題を解いている場合、解は目的を達成するための最適な量を示します。
例題
グラフ法を使用して手順を説明するために、サンプル問題を解きます。
問題の説明：
ある会社は製品P1とP2を生産しており、これらはそれぞれ1ユニットあたり3ドルと5ドルの利益をもたらします。会社は利益を最大化したいと考えています。これらの製品の生産は以下の制約に従います：
- P1の各ユニットは処理に1時間かかり、P2の各ユニットは2時間かかります。使用可能な処理時間は合計で10時間です。
- P1の各ユニットは機械時間に4時間かかり、P2の各ユニットは3時間かかります。使用可能な機械時間は合計で12時間です。
- 非負性制約：
P1 ≥ 0、P2 ≥ 0。
正式な線形計画モデルは次のようになります：
- 目的関数：
Z = 3P1 + 5P2（利益を最大化） - 制約条件：
P1 + 2P2 ≤ 104P1 + 3P2 ≤ 12P1 ≥ 0P2 ≥ 0
制約条件の設計
不等式を等式に変えてグラフにプロットするための切片を見つけます：
P1 + 2P2 = 10- 切片：
(10, 0)、(0, 5)
4P1 + 3P2 = 12- 切片：
(3, 0)、(0, 4)
線をプロットして実行可能領域を特定します。
p1 + 2p2 = 10 4p1 + 3p2 = 12
実行可能領域の特定
2つの条件に加えて非負性条件も満たす実行可能領域を特定します。この領域は、これらの条件の交差によって形成されるポリゴンです。
頂点の特定
制約条件を同時に解くことで交点を計算します：
P1 + 2P2 = 104P1 + 3P2 = 12解：
P2を消去するために、最初の方程式を3倍し、2番目の方程式を2倍します：
3P1 + 6P2 = 308P1 + 6P2 = 24方程式を引きます：
-5P1 = 6P1 = 1.2P1を元の方程式の1つに代入してP2を取得します：
1.2 + 2P2 = 102P2 = 8.8P2 = 4.4したがって、点は(1.2, 4.4)です。同様の計算を通じて可能な頂点をすべて見つけます。
目的関数の評価
各頂点で目的関数Z = 3P1 + 5P2を計算します。
- (0, 0)で：
Z = 3(0) + 5(0) = 0 - (10, 0)で：
Z = 3(10) + 5(0) = 30 - (0, 4)で：
Z = 3(0) + 5(4) = 20 - (1.2, 4.4)で：
Z = 3(1.2) + 5(4.4) = 3.6 + 22 = 25.6
結論
Zの最大値を示す点は(10, 0)です。したがって、最適な利益を最大化するための解は、P1を10ユニット生産し、P2を0ユニット生産することです。
結論として、グラフ法は、システムに影響を与える変更を理解するための明確な視覚的アプローチを提供し、実現可能性と最適化の概念を紹介するための優れた方法です。2つ以上の変数がある場合、視覚化が実用的でなくなるため、2変数の問題に限定されます。
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