रेखीय प्रोग्रामिंग में ग्राफिकल विधि

रेखीय प्रोग्रामिंग (LP) एक गणितीय तकनीक है जिसका उपयोग एक रेखीय उद्देश्य फ़ंक्शन को सुधारने के लिए किया जाता है, जो रेखीय समानताओं और रेखीय असमानताओं के संयम पर निर्भर होता है। उद्देश्य फ़ंक्शन एक सूत्र होता है जिसे अधिकतम या न्यूनतम करना होता है। ग्राफिकल विधि रेखीय प्रोग्रामिंग की समस्या को हल करने की सबसे सरल विधियों में से एक है और बुनियादी अवधारणाओं को समझने के लिए उपयोगी है। यह दो चर के साथ LP समस्याओं को दृश्यात्मक प्रतिनिधित्व के माध्यम से हल करने का एक तरीका है। चलिए उदाहरणों के साथ ग्राफिकल विधि को विस्तार से समझते हैं।

समस्या को समझना

रेखीय प्रोग्रामिंग में, एक आम समस्या यह होती है कि अधिकतम या न्यूनतम कुछ परिणाम प्राप्त करने के लिए दो गतिविधियों के सबसे अच्छे संयोजन को चुनना। ये गतिविधियां जो कुछ भी आपको प्रबंधित करनी है वह हो सकती हैं, जैसे उत्पादन की मात्रा, कार्य के घंटे, या यहां तक कि निवेश की मात्रा।

उद्देश्य फ़ंक्शन

रेखीय प्रोग्रामिंग समस्या में उद्देश्य फ़ंक्शन वह फ़ंक्शन होता है जिसे हम अधिकतम लाभ या न्यूनतम लागत प्राप्त करने के लिए ऑप्टिमाइज करना चाहते हैं। इसे सामान्यतः इस प्रकार लिखा जाता है:

Z = ax + by

यहां, Z उद्देश्य है जिसे आप प्राप्त करना चाहते हैं, x और y निर्णय चर होते हैं, और a और b स्थिरांक होते हैं जो उद्देश्य को प्राप्त करने में प्रत्येक चर के वजन को दर्शाते हैं।

प्रतिबंध

रेखीय प्रोग्रामिंग समस्या में संयम निर्णय चरों पर लगी सीमाएं होती हैं। ये असमानताएं हो सकती हैं जो x और y के लिए आवश्यक मानों को सीमित करती हैं। उदाहरण के लिए:

2x + 3y ≤ 12

x + y ≥ 3

x ≥ 0

y ≥ 0

असमानताएं उन शर्तों को दर्शाती हैं जिन्हें समाधान के योग्य माने जाने के लिए पूरा किया जाना चाहिए।

ग्राफिकल विधि

ग्राफिकल विधि में एक ग्राफ पर प्रत्येक संयम को चित्रित करना शामिल होता है, जिसके परिणामस्वरूप एक साध्य क्षेत्र होता है। इष्टतम समाधान इस साध्य क्षेत्र की सीमा पर होता है। यहाँ ग्राफिकल विधि का उपयोग करके LP समस्याओं को हल करने की चरण-दर-चरण विधि है:

चरण 1: संयमों को चित्रित करें

प्रत्येक संयम एक असमानता होती है जिसे एक 2-आयामी ग्राफ पर एक सीधी रेखा के रूप में चित्रित किया जा सकता है (यदि आपके पास दो निर्णय चरों हैं)। उदाहरण के लिए, निम्न संयमों पर विचार करें:

• 2x + 3y ≤ 12
• x + y ≥ 3
• x ≥ 0
• y ≥ 0

हम इन संयमों को असमानताओं को समानताओं में बदलकर रेखाओं को ढूंढ सकते हैं:

2x + 3y = 12

x + y = 3

अब इन रेखाओं के अवरोधों को खोजें। उदाहरण के लिए, पहले संयम के लिए अवरोध ढूंढें:

• Y-अवरोध: x = 0 सेट करें: 3y = 12, तो y = 4।
• X-अवरोध: y = 0 सेट करें: 2x = 12, तो x = 6।

इन मध्यवर्ती चरणों को दोनों संयमों के लिए किया जाएगा इससे पहले कि उन्हें चित्रित किया जाए।

ग्राफ पर रेखाएं कुछ इस तरह दिखेंगी:

  
  
  
  2x + 3y = 12
  
  x + y = 3

चरण 2: साध्य क्षेत्र निर्धारित करें

एक बार सभी रेखाएं खींची जाने के बाद, साध्य क्षेत्र वह समान्य क्षेत्र होता है जहां सभी संयम ओवरलैप होते हैं। यह क्षेत्र उन सभी संभावित समाधानों का प्रतिनिधित्व करता है जो सभी संयमों को पूरा करते हैं। यह आमतौर पर बहुभुज होता है या असमानताओं के द्वारा उत्पन्न अर्ध-विमानों के संगम द्वारा निर्मित संघटन क्षेत्र।

इस क्षेत्र को अपने ग्राफ पर हाइलाइट करें, क्योंकि यह इष्टतम बिंदु खोजने के लिए महत्वपूर्ण है।

चरण 3: शीर्ष बिंदु खोजें

साध्य क्षेत्र को इसके शीर्ष बिंदुओं या बहुभुज के कोनों के माध्यम से परिभाषित किया जाता है। प्रत्येक शीर्ष को उस बिंदु पर मिलने वाले रेखीय समीकरणों को हल करके पहचान सकते हैं। ये शीर्ष समाधान के संभावित उम्मीदवार होते हैं।

उदाहरण के लिए, अगर दो रेखाएं मिलती हैं, तो दो मिलान योजनाओं को हल करें:

2x + 3y = 12

x + y = 3

इन समीकरणों को एक साथ हल करके, आप मिलन बिंदुओं को ढूंढ सकते हैं। इस प्रक्रिया को साध्य क्षेत्र के सभी शीर्षों को खोजने के लिए दोहराएं।

चरण 4: प्रत्येक शीर्ष पर उद्देश्य फ़ंक्शन का मूल्यांकन करें

अगला चरण साध्य क्षेत्र के प्रत्येक शीर्ष पर उद्देश्य फ़ंक्शन का मूल्यांकन करना है। प्रत्येक शीर्ष के (x, y) मानों को उद्देश्य फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करें:

Z = ax + by

जिस बिंदु पर अधिकतम या न्यूनतम उद्देश्य फ़ंक्शन की आवश्यकता होती है, उसे खोजने के लिए Z के मान की गणना करें।

उदाहरण के लिए, यदि आपके शीर्ष (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) आदि हैं, तो गणना करें:

• Z1 = ax1 + by1
• Z2 = ax2 + by2
• Z3 = ax3 + by3

इष्टतम समाधान वह शीर्ष होता है जो समस्या के अनुसार Z का अधिकतम या न्यूनतम मूल्य प्रदान करता है।

चरण 5: समाधान का व्याख्या करें

अंतिम चरण यह है कि समाधान की व्याख्या करें और इसे वास्तविक दुनिया के संदर्भ में समझाएं। उदाहरण के लिए, यदि आप इष्टतम उत्पादन मात्रा निकाल रहे थे, तो समाधान इस उद्देश्य को प्राप्त करने के लिए सर्वोत्तम मात्रा देता है।

उदाहरण समस्या

चलिए ग्राफिकल विधि का उपयोग करके चरणों का प्रदर्शन करने के लिए एक उदाहरण समस्या को हल करते हैं।

समस्या का वर्णन:

एक कंपनी दो उत्पादों, P1 और P2 का उत्पादन करती है, जिन पर प्रति इकाई $3 और $5 का लाभ होता है। कंपनी लाभ को अधिकतम करना चाहती है। इन उत्पादों का उत्पादन निम्नलिखित संयमों के तहत होता है:

• प्रत्येक P1 इकाई को प्रक्रिया करने में 1 घंटा लगता है, और प्रत्येक P2 इकाई को 2 घंटे लगते हैं। कुल उपलब्ध प्रसंस्करण समय 10 घंटे है।
• प्रत्येक P1 इकाई को 4 घंटे मशीन समय लगता है, और प्रत्येक P2 इकाई को 3 घंटे लगते हैं। कुल उपलब्ध मशीन समय 12 घंटे है।
• पराकूट संयम: P1 ≥ 0, P2 ≥ 0.

औपचारिक रेखीय प्रोग्रामिंग मॉडल होगा:

• उद्देश्य फ़ंक्शन: Z = 3P1 + 5P2 (लाभ को अधिकतम करना)
• प्रतिबंध:
  • P1 + 2P2 ≤ 10
  • 4P1 + 3P2 ≤ 12
  • P1 ≥ 0
  • P2 ≥ 0

विघटन को डिजाइन करना

असमानताओं को समानताओं में बदलें और ग्राफ पर अवरोधों को खोजें:

P1 + 2P2 = 10

• अवरोध: (10, 0), (0, 5)

4P1 + 3P2 = 12

• अवरोध: (3, 0), (0, 4)

रेखाओं को चिह्नित करें और साध्य क्षेत्र की पहचान करें।

  
  
  
  p1 + 2p2 = 10
  
  4p1 + 3p2 = 12

साध्य क्षेत्र की खोज

साध्य क्षेत्र की पहचान करें जहां दोनों स्थिति के साथ-साथ गैर-नकारात्मक स्थितियों को संतुष्ट किया गया है। यह क्षेत्र इन स्थितियों के ग्राफ पर संगम द्वारा निर्मित एक पोलिगोन होता है।

शीर्ष बिंदु

कॉन्स्ट्रेन्स को एकसाथ हल करके संगम बिंदुओं की गणना करें:

P1 + 2P2 = 10

4P1 + 3P2 = 12

समाधान:

P2 को हटाने के लिए, पहली विधि को 3 और दूसरी को 2 से गुणा करें:

3P1 + 6P2 = 30

8P1 + 6P2 = 24

विधि को घटाएं:

-5P1 = 6

P1 = 1.2

एक प्रारंभिक विधि का उपयोग करके P1 को प्रतिस्थापित करें:

1.2 + 2P2 = 10

2P2 = 8.8

P2 = 4.4

इस प्रकार, एक बिंदु है (1.2, 4.4) इसी प्रकार के गणना द्वारा सभी संभव शीर्ष बिंदुओं को ढूंढें।

उद्देश्य फ़ंक्शन का मूल्यांकन

उद्देश्य फ़ंक्शन Z = 3P1 + 5P2 का मूल्यांकन प्रत्येक शीर्ष पर करें।

• पर (0, 0): Z = 3(0) + 5(0) = 0
• पर (10, 0): Z = 3(10) + 5(0) = 30
• पर (0, 4): Z = 3(0) + 5(4) = 20
• पर (1.2, 4.4): Z = 3(1.2) + 5(4.4) = 3.6 + 22 = 25.6

निष्कर्ष

सबसे बड़ा Z का मान (10, 0) पर प्राप्त होता है। अतः, इष्टतम लाभ प्राप्त करने के लिए 10 यूनिट P1 और 0 यूनिट P2 का उत्पादन करें।

समाप्ति में, ग्राफिकल विधि एक स्पष्ट दृश्यात्मक दृष्टिकोण प्रदान करती है कि कैसे परिवर्तन प्रणाली को प्रभावित करते हैं और साध्यता और इष्टमकरण की अवधारणाओं को समझने का एक उत्कृष्ट तरीका है। यह दो निर्णय चरों तक ही सीमित है क्योंकि दो से अधिक आयामों के साथ दृश्यांकन अव्यवहारिक हो जाता है।

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