Grado 12
  1. Introducción al Álgebra  1.1. Matrices  1.1.1. Definición y tipos de matrices  1.1.2. Operaciones en matrices  1.1.3. Transposición de una matriz  1.1.4. Determinantes y sus propiedades  1.1.5. Inverso de una matriz  1.1.6. Resolución de ecuaciones lineales usando matrices  1.1.7. Aplicaciones de matrices  1.2. Números complejos  1.2.1. Definición y representación de números complejos  1.2.2. Comprensión del álgebra de los números complejos  1.2.3. Módulo y argumento de números complejos  1.2.4. Introducción a los números complejos  1.2.5. Teorema de De Moivre  1.2.6. Raíces de números complejos  1.2.7. Aplicaciones en geometría  1.3. Vectores y geometría 3D  1.3.1. Álgebra de vectores  1.3.2. Producto escalar y vectorial  1.3.3. Ecuación de una línea en el espacio  1.3.4. Ecuación de un plano en vectores y geometría 3D  1.3.5. Distancia entre líneas y planos  1.3.6. Ángulo entre líneas y planos
  2. Cálculos  2.1. Límites y continuidad  2.1.1. Concepto de Límites  2.1.2. Continuación de trabajos  2.1.3. Tipos de discontinuidad  2.1.4. Comprendiendo las limitaciones de la mano izquierda y derecha  2.2. Discriminación  2.2.1. Derivado como tasa de cambio  2.2.2. Técnicas de diferenciación  2.2.3. Derivadas de orden superior  2.2.4. Aplicaciones de las derivadas  2.2.5. Tangente y normal  2.2.6. Funciones crecientes y decrecientes  2.3. Integración  2.3.1. Integral indefinida  2.3.2. Integral definida  2.3.3. Técnicas de integración  2.3.4. Entendiendo el área bajo la curva en integración  2.3.5. Aplicaciones de las integrales en geometría  2.4. Ecuaciones diferenciales  2.4.1. Formación de ecuaciones diferenciales  2.4.2. Orden y grado de las ecuaciones diferenciales  2.4.3. Soluciones de ecuaciones diferenciales  2.4.4. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales  2.4.5. Introducción a las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
  3. Probabilidad y estadística  3.1. Entendiendo la Probabilidad  3.1.1. Comprendiendo la probabilidad condicional  3.1.2. Teorema de Bayes  3.1.3. Comprendiendo las variables aleatorias en probabilidad y estadísticas  3.1.4. Distribuciones de probabilidad  3.1.5. Distribución binomial y normal  3.2. Figuras  3.2.1. Media y desviación estándar  3.2.2. Varianza y covarianza  3.2.3. Correlación y regresión  3.2.4. Comprendiendo la prueba de hipótesis en estadística
  4. Programación lineal  4.1. Método gráfico en programación lineal  4.1.1. Comprendiendo las regiones factibles y no factibles en la programación lineal  4.1.2. Solución óptima en el método gráfico de programación lineal  4.1.3. Análisis de sensibilidad en el método gráfico  4.2. Método simplex  4.2.1. Formulación de problemas en el método del simplex  4.2.2. Resolviendo problemas de programación lineal usando el método simplex  4.2.3. Método del simplejo dual
  5. Relaciones y funciones  5.1. Tipos de relaciones  5.1.1. Relación reflexiva  5.1.2. Relaciones simétricas  5.1.3. Comprendiendo las relaciones transitivas  5.1.4. Relación de equivalencia  5.2. Tipos de tareas  5.2.1. Función sobreyectiva  5.2.2. Función uno a uno  5.2.3. Función inversa  5.2.4. Trabajo conjunto  5.3. Funciones trigonométricas inversas  5.3.1. Valores principales en funciones trigonométricas inversas  5.3.2. Propiedades y gráficos de funciones trigonométricas inversas  5.3.3. Aplicaciones en cálculo
  6. Trigonometría avanzada  6.1. Introducción a las ecuaciones trigonométricas  6.1.1. Soluciones generales de ecuaciones en ecuaciones trigonométricas  6.1.2. Fórmula de transformación  6.2. Funciones hiperbólicas  6.2.1. Definiciones y propiedades de las funciones hiperbólicas  6.2.2. Relación entre funciones hiperbólicas y trigonométricas
  7. Lógica aritmética  7.1. Razonamiento lógico  7.1.1. Declaraciones y conectores lógicos  7.1.2. Tautología y contradicción  7.2. Evidencia  7.2.1. Evidencia directa  7.2.2. Evidencia indirecta  7.2.3. Prueba por contradicción  7.2.4. Prueba por inducción matemática
  8. Aplicaciones de las Matemáticas  8.1. Aplicaciones del cálculo  8.1.1. Problemas de máximos y mínimos  8.1.2. Aplicaciones de la economía y la biología  8.1.3. Tasa de cambio en física  8.2. Aplicaciones de la Probabilidad  8.2.1. Análisis de riesgo  8.2.2. Toma de decisiones en aplicaciones de probabilidad  8.2.3. Teoría de juegos

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Método gráfico en programación lineal


La Programación Lineal (PL) es una técnica matemática utilizada para optimizar una función objetivo lineal, sujeta a restricciones de igualdad e inequidad lineales. La función objetivo es una fórmula que necesita ser maximizada o minimizada. El método gráfico es uno de los métodos más simples para resolver un problema de programación lineal y es útil para comprender los conceptos básicos. Es una forma de resolver problemas de PL con dos variables a través de la representación visual. Vamos a entender el método gráfico en detalle con ejemplos.

Entendiendo el problema

En la programación lineal, un problema común es elegir la mejor combinación de dos actividades para maximizar o minimizar algún resultado. Estas actividades pueden ser cualquier cosa que desees gestionar, como el volumen de producción, horas de trabajo o incluso el volumen de inversión.

Función objetivo

La función objetivo en un problema de programación lineal es la función que queremos optimizar para lograr el máximo beneficio o el costo mínimo. Generalmente se escribe como:

Z = ax + by

Aquí, Z es el objetivo que estás tratando de lograr, x y y son las variables de decisión, y a y b son constantes que dan el peso de cada variable en lograr el objetivo.

Restricciones

Las restricciones en un problema de programación lineal son límites o restricciones sobre las variables de decisión. Estas pueden ser desigualdades que restringen los valores que x y y pueden tomar. Por ejemplo:

2x + 3y ≤ 12
x + y ≥ 3
x ≥ 0
y ≥ 0

Las desigualdades representan condiciones que deben cumplirse para que una solución sea considerada factible.

Método gráfico

El método gráfico implica trazar cada restricción en un gráfico, resultando en una región factible. La solución óptima se encuentra en el límite de esta región factible. Aquí hay un método paso a paso para resolver problemas de PL usando el método gráfico:

Paso 1: Graficar las restricciones

Cada restricción es una desigualdad que se puede graficar como una línea recta en un gráfico bidimensional (si tienes dos variables de decisión). Por ejemplo, considera las restricciones:

  • 2x + 3y ≤ 12
  • x + y ≥ 3
  • x ≥ 0
  • y ≥ 0

Podemos graficar estas restricciones convirtiendo inequaciones en igualdades para encontrar las líneas:

2x + 3y = 12
x + y = 3

Ahora encuentra las intersecciones de estas líneas. Por ejemplo, vamos a encontrar las intersecciones para la primera condición:

  • Intersección Y: Establece x = 0: 3y = 12, entonces y = 4.
  • Intersección X: Establece y = 0: 2x = 12, entonces x = 6.

Estos pasos intermedios se realizarán para ambas restricciones antes de graficarlas.

Las líneas en el gráfico se verán algo así:


  
  
  
  2x + 3y = 12
  
  x + y = 3

Paso 2: Determinar el área factible

Una vez que se dibujan todas las líneas, la región factible es el área común donde se superponen todas las restricciones. Esta región representa todas las posibles soluciones que satisfacen todas las restricciones. Generalmente es un polígono o una región de intersección creada por la intersección de los semiplanos creados por las desigualdades.

Sombrea o resalta esta área en tu gráfico, ya que será importante para encontrar el punto óptimo.

Paso 3: Encontrar el punto de vértice

La región factible se define por sus puntos de vértice o esquinas del polígono. Cada vértice puede identificarse resolviendo las ecuaciones lineales que se cruzan en ese punto. Estos vértices son los posibles candidatos para la solución.

Por ejemplo, si dos líneas se cruzan, resuelve dos ecuaciones coincidentes:

2x + 3y = 12
x + y = 3

Al resolver estas ecuaciones simultáneamente, puedes encontrar los puntos de intersección. Repite este proceso para encontrar todos los vértices de la región factible.

Paso 4: Evaluar la función objetivo en cada vértice

El siguiente paso implica evaluar la función objetivo en cada vértice de la región factible. Sustituye los valores (x, y) de cada vértice en la función objetivo:

Z = ax + by

Calcula el valor de Z en cada vértice para encontrar qué punto maximiza o minimiza la función objetivo según sea necesario.

Por ejemplo, si tus vértices son (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), etc., calcula:

  • Z1 = ax1 + by1
  • Z2 = ax2 + by2
  • Z3 = ax3 + by3

La solución óptima es el vértice que proporciona el valor máximo o mínimo de Z dependiendo del problema.

Paso 5: Explicar la solución

El último paso es interpretar la solución en el contexto del problema original, traduciendo la solución matemática de vuelta a términos del mundo real. Por ejemplo, si estuvieras resolviendo para la cantidad óptima de producción, la solución da la mejor cantidad para lograr el objetivo deseado.

Problema de ejemplo

Resolvamos un problema de ejemplo utilizando el método gráfico para ilustrar los pasos.

Descripción del problema:

Una empresa produce dos productos, P1 y P2, sobre los cuales hay una ganancia de $3 y $5 por unidad, respectivamente. La empresa quiere maximizar el lucro. La producción de estos productos está sujeta a las siguientes restricciones:

  • Cada unidad de P1 toma 1 hora para procesarse, y cada unidad de P2 toma 2 horas. El tiempo total disponible de procesamiento es de 10 horas.
  • Cada unidad de P1 toma 4 horas de tiempo de máquina, y cada unidad de P2 toma 3 horas. El tiempo total disponible de máquina es de 12 horas.
  • Restricciones de no negatividad: P1 ≥ 0, P2 ≥ 0.

El modelo formal de programación lineal sería:

  • Función Objetivo: Z = 3P1 + 5P2 (Maximizar Ganancia)
  • Restricciones:
    • P1 + 2P2 ≤ 10
    • 4P1 + 3P2 ≤ 12
    • P1 ≥ 0
    • P2 ≥ 0

Diseñar los obstáculos

Convierte desigualdades en igualdades y encuentra las intersecciones para trazar en el gráfico:

P1 + 2P2 = 10
  • Intersecciones: (10, 0), (0, 5)
4P1 + 3P2 = 12
  • Intersecciones: (3, 0), (0, 4)

Traza las líneas e identifica la región factible.


  
  
  
  p1 + 2p2 = 10
  
  4p1 + 3p2 = 12

Encontrar la región factible

Identifica la región factible donde se cumplen ambas condiciones junto con las condiciones de no negatividad. Esta región es un polígono formado dentro de la intersección de estas condiciones en el gráfico.

Punto superior

Calcula los puntos de intersección, resolviendo las restricciones simultáneamente:

P1 + 2P2 = 10
4P1 + 3P2 = 12

Solución:

Para eliminar P2, multiplica la primera ecuación por 3 y la segunda por 2:

3P1 + 6P2 = 30
8P1 + 6P2 = 24

Resta la ecuación:

-5P1 = 6
P1 = 1.2

Sustituye P1 en una de las ecuaciones originales para obtener P2:

1.2 + 2P2 = 10
2P2 = 8.8
P2 = 4.4

Por lo tanto, hay un punto (1.2, 4.4). Encuentra todos los posibles puntos de vértice a través de cálculos similares.

Evaluando la función objetivo

Calcula la función objetivo Z = 3P1 + 5P2 en cada vértice.

  • En (0, 0): Z = 3(0) + 5(0) = 0
  • En (10, 0): Z = 3(10) + 5(0) = 30
  • En (0, 4): Z = 3(0) + 5(4) = 20
  • En (1.2, 4.4): Z = 3(1.2) + 5(4.4) = 3.6 + 22 = 25.6

Conclusión

El valor más alto de Z ocurre en (10, 0). Por lo tanto, la solución óptima para maximizar el beneficio es producir 10 unidades de P1 y 0 unidades de P2.

En conclusión, el método gráfico proporciona un enfoque visual claro para entender cómo afectan los cambios al sistema y es una excelente manera de introducir los conceptos de factibilidad y optimización. Está limitado a problemas con dos variables de decisión porque la visualización se vuelve impráctica con más de dos dimensiones.


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