图解法中的敏感性分析

敏感性分析是线性规划的重要组成部分，特别是当我们处理实际问题时，如成本、资源供应或市场需求等参数可能会发生变化。在数学和运筹学领域，敏感性分析帮助我们理解当目标函数的系数或约束条件右侧的值发生变化时，线性规划问题的解决方案如何变化。

在线性规划中，我们通常处理在线性不等式或方程约束下的最大化或最小化线性目标函数。图形法是解决两变量线性规划问题的方法之一，我们可以通过视觉识别可行区域，并通过分析该区域的顶点或角点找到最优解。

理解图形法的基础知识

在图形法中，您通常会处理可以在二维空间中表示的两个决策变量的问题。以下是涉及的基本步骤的快速回顾：

1. 定义要最大化或最小化的目标函数。
2. 建立代表约束条件的线性不等式系统。
3. 在二维平面上用适当的比例绘制每个线性不等式。
4. 通过识别所有约束条件都满足的重叠区域来确定可行区域。
5. 识别可行区域的顶点（角点）。
6. 在每个顶点评估目标函数以找到最优解。

敏感性分析的概念

在图形法背景下的敏感性分析是关于理解线性规划问题的参数变化如何影响最优解。它主要有两个方面：

• 目标函数系数：决策变量在目标函数中的系数变化。
• 约束的右侧值（RHS）：资源或约束条件的限制变化。

通过进行敏感性分析，您可以回答以下关键问题：

• 最优解对目标函数系数变化有多敏感？
• 在当前解不再最优之前，我们可以增加或减少多少资源的可用性？
• 添加或删除约束对解有什么影响？

目标函数系数的敏感性分析

假设您有一个线性规划问题，其目标函数为：

Maximize Z = c1*x1 + c2*x2

在这里，c1和c2是决策变量x1和x2的系数。敏感性分析涉及改变这些系数以观察最优解的变化。

例子：

假设目标函数为：

Maximize Z = 3x + 4y

约束条件为：

2x + y ≤ 10
x + 2y ≤ 12
x ≥ 0
y ≥ 0

对约束的可行区域进行绘图，并计算顶点以进行评估。

让我们在图上找到并标记顶点以评估目标函数。

• 顶点 A 为 (0,0)：Z = 3*0 + 4*0 = 0
• 顶点 B 为 2x + y = 10 与 x = 0 的交点，即 (0,10)：Z = 3*0 + 4*10 = 40
• 顶点 C 为 x + 2y = 12 与 y = 0 的交点，即 (12,0)：Z = 3*12 + 4*0 = 36
• 顶点 D 为两个约束的交点：求解方程组得 x=4，y=3，即点 (4,3)：Z = 3*4 + 4*3 = 24

最高 Z 值为 40，位于顶点 B。让我们通过改变c2来观察 B 如何保持最优。

如果c2从 4 增加到 5，那么：

Maximize Z = 3x + 5y

从顶点 B 得到的结果：Z = 3*0 + 5*10 = 50

约束的右侧值（RHS）的敏感性分析

考虑相同的例子。现在，我们将研究 RHS 值的变化如何影响可行区域和最优解。

基本约束：

2x + y ≤ 10
x + 2y ≤ 12

让我们将第一个条件的 RHS 从 10 提高到 14：

2x + y ≤ 14

通过图形查看具有此新限制的可行区域如何扩展：

重新计算顶点 D 的更新。求解新的方程。

寻找新的交点，计算目标函数结果...

结论

敏感性分析拓宽了我们做出明智决策的能力，不仅关注于一个最优解，还允许我们探索该解对问题参数变化的稳健性。特别是在图形方法中，它为我们提供了直观的见解和对底层动态的理解。通过不同的顶点配置和约束系数进行练习，深入研究。线性规划结合敏感性分析为解决各种领域的优化问题提供了一个强大的工具包。

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