12º ano
  1. Introdução à Álgebra  1.1. Matrizes  1.1.1. Definição e tipos de matrizes  1.1.2. Operações em matrizes  1.1.3. Transposição de uma matriz  1.1.4. Determinantes e suas propriedades  1.1.5. Inverso de uma matriz  1.1.6. Resolvendo equações lineares usando matrizes  1.1.7. Aplicações de matrizes  1.2. Números complexos  1.2.1. Definição e representação de números complexos  1.2.2. Compreendendo a álgebra dos números complexos  1.2.3. Módulo e argumento de números complexos  1.2.4. Introdução aos números complexos  1.2.5. Teorema de De Moivre  1.2.6. Raízes de números complexos  1.2.7. Aplicações em geometria  1.3. Vetores e geometria 3D  1.3.1. Álgebra vetorial  1.3.2. Produto escalar e vetorial  1.3.3. Equação de uma linha no espaço  1.3.4. Equação de um plano em vetores e geometria 3D  1.3.5. Distância entre retas e planos  1.3.6. Ângulo entre linhas e planos
  2. Cálculos  2.1. Limites e continuidade  2.1.1. O conceito de limites  2.1.2. Continuação das obras  2.1.3. Tipos de descontinuidade  2.1.4. Compreendendo as limitações da mão esquerda e da mão direita  2.2. Discriminação  2.2.1. Derivado como taxa de variação  2.2.2. Técnicas de diferenciação  2.2.3. Derivadas de ordem superior  2.2.4. Aplicações de derivadas  2.2.5. Tangente e normal  2.2.6. Funções crescentes e decrescentes  2.3. Integração  2.3.1. Integral indefinida  2.3.2. Integral definida  2.3.3. Técnicas de integração  2.3.4. Compreendendo a área sob a curva na integração  2.3.5. Aplicações de integrais em geometria  2.4. Equações Diferenciais  2.4.1. Formação de equações diferenciais  2.4.2. Ordem e grau de equações diferenciais  2.4.3. Soluções de equações diferenciais  2.4.4. Aplicações de equações diferenciais  2.4.5. Introdução às equações diferenciais lineares de primeira ordem
  3. Probabilidade e estatística  3.1. Compreendendo a Probabilidade  3.1.1. Compreendendo a probabilidade condicional  3.1.2. Teorema de Bayes  3.1.3. Compreendendo variáveis aleatórias em probabilidade e estatística  3.1.4. Distribuições de probabilidade  3.1.5. Distribuição binomial e normal  3.2. Figuras  3.2.1. Média e desvio padrão  3.2.2. Variância e covariância  3.2.3. Correlação e regressão  3.2.4. Compreendendo o teste de hipóteses em estatística
  4. Programação linear  4.1. Método gráfico em programação linear  4.1.1. Compreendendo regiões viáveis e inviáveis em programação linear  4.1.2. Solução ótima no método gráfico de programação linear  4.1.3. Análise de sensibilidade no método gráfico  4.2. Método Simplex  4.2.1. Formulação de problemas no método simplex  4.2.2. Resolvendo problemas de programação linear usando o método simplex  4.2.3. Método dual do simplex
  5. Relações e funções  5.1. Tipos de relações  5.1.1. Relação reflexiva  5.1.2. Relações simétricas  5.1.3. Compreendendo relações transitivas  5.1.4. Relação de equivalência  5.2. Tipos de tarefas  5.2.1. Função sobrejetora  5.2.2. Função um-para-um  5.2.3. Função inversa  5.2.4. Trabalho conjunto  5.3. Funções trigonométricas inversas  5.3.1. Valores principais em funções trigonométricas inversas  5.3.2. Propriedades e gráficos das funções trigonométricas inversas  5.3.3. Aplicações em cálculo
  6. Trigonometria avançada  6.1. Introdução às equações trigonométricas  6.1.1. Soluções gerais de equações em equações trigonométricas  6.1.2. Fórmula de transformação  6.2. Funções hiperbólicas  6.2.1. Definições e propriedades das funções hiperbólicas  6.2.2. Relação entre funções hiperbólicas e trigonométricas
  7. Lógica aritmética  7.1. Raciocínio lógico  7.1.1. Declarações e conectivos lógicos  7.1.2. Tautologia e contradição  7.2. Evidência  7.2.1. Evidência direta  7.2.2. Evidência indireta  7.2.3. Prova por contradição  7.2.4. Prova por indução matemática
  8. Aplicações da Matemática  8.1. Aplicações do cálculo  8.1.1. Problemas de máximo e mínimo  8.1.2. Aplicações de economia e biologia  8.1.3. Taxa de variação na física  8.2. Aplicações de Probabilidade  8.2.1. Análise de risco  8.2.2. Tomada de decisão em aplicações de probabilidade  8.2.3. Teoria dos jogos

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Análise de sensibilidade no método gráfico


A análise de sensibilidade é uma parte importante da programação linear, especialmente quando lidamos com problemas do mundo real em que certos parâmetros, como custo, disponibilidade de recursos ou demanda de mercado, podem mudar. No campo da matemática e pesquisa operacional, a análise de sensibilidade nos ajuda a entender como a solução para um problema de programação linear muda quando há alterações nos coeficientes da função objetivo ou nos valores do lado direito das restrições.

Na programação linear, muitas vezes lidamos com a maximização ou minimização de uma função objetivo linear sujeita a um conjunto de desigualdades lineares ou restrições de equações. O método gráfico é uma das maneiras de resolver problemas de programação linear de duas variáveis, onde podemos identificar visualmente a região viável e encontrar a solução ótima analisando os vértices ou cantos dessa região.

Compreendendo o básico do método gráfico

No método gráfico, você normalmente trabalha com problemas de duas variáveis de decisão que podem ser representados em um espaço bidimensional. Aqui está um resumo rápido dos passos básicos envolvidos:

  1. Defina a função objetivo que deve ser maximizada ou minimizada.
  2. Configure o sistema de desigualdades lineares que representam as restrições.
  3. Represente cada desigualdade linear em um plano bidimensional, usando a escala apropriada.
  4. Determine a região viável identificando a região de sobreposição onde todas as restrições são satisfeitas.
  5. Identifique os vértices (cantos) da região viável.
  6. Avalie a função objetivo em cada vértice para encontrar a solução ótima.

O conceito de análise de sensibilidade

A análise de sensibilidade no contexto do método gráfico é sobre entender como as mudanças nos parâmetros de um problema de programação linear afetam a solução ótima. Tem duas áreas principais:

  • Coeficientes da função objetivo: Mudança nos coeficientes das variáveis de decisão na função objetivo.
  • Lado direito das restrições (RHS): Variação nas limitações de recursos ou restrições.

Ao realizar uma análise de sensibilidade, você pode responder às seguintes perguntas chave:

  • Quão sensível é a solução ótima a mudanças nos coeficientes da função objetivo?
  • Quanto podemos aumentar ou diminuir a disponibilidade de recursos antes que a solução atual deixe de ser ótima?
  • Qual o efeito de adicionar ou remover restrições na solução?

Análise de sensibilidade dos coeficientes da função objetivo

Suponha que você tenha um problema de programação linear, onde a função objetivo é dada por:

Maximizar Z = c1*x1 + c2*x2

Aqui, c1 e c2 são os coeficientes das variáveis de decisão x1 e x2. A análise de sensibilidade envolve a variação desses coeficientes para ver como a solução ótima muda.

Exemplo:

Suponha que a função objetivo seja:

Maximizar Z = 3x + 4y

Com restrições:

2x + y ≤ 10
x + 2y ≤ 12
x ≥ 0
y ≥ 0

A região viável para as restrições é representada graficamente, e os vértices são calculados para avaliação.

região viável

Vamos encontrar e rotular os vértices para avaliar a função objetivo no gráfico.

  • Vértice A é (0,0): Z = 3*0 + 4*0 = 0
  • Vértice B é o ponto de interseção de 2x + y = 10 e x = 0, que é (0,10): Z = 3*0 + 4*10 = 40
  • Vértice C é o ponto de interseção de x + 2y = 12 e y = 0, que é (12,0): Z = 3*12 + 4*0 = 36
  • Vértice D é a interseção de ambas as restrições: Resolvendo as equações simultâneas, x=4, y=3, ou seja, ponto (4,3): Z = 3*4 + 4*3 = 24

O maior valor de Z é 40 no vértice B. Vamos ver como B permanece ótimo alterando c2 em nossa função objetivo.

Se c2 aumenta de 4 para 5, então:

Maximizar Z = 3x + 5y

Resultado obtido do vértice B: Z = 3*0 + 5*10 = 50

Análise de sensibilidade do lado direito (RHS) das restrições

Considere o mesmo exemplo. Agora, investigaremos como as mudanças nos valores RHS afetam a região viável e a solução ótima.

Restrições básicas:

2x + y ≤ 10
x + 2y ≤ 12

Vamos aumentar o RHS da primeira condição de 10 para 14:

2x + y ≤ 14

Veja graficamente como a região viável se expande com essa nova restrição:

Região viável estendida

Novas contagens de topo:

  • Mudanças atualizadas para o cálculo do vértice D. Resolvendo novas equações.

Encontrando novas interseções, calculando resultados da função objetivo...

Conclusão

A análise de sensibilidade amplia a nossa capacidade de tomar decisões informadas ao não focar apenas em uma solução ótima, mas também ao permitir que exploremos quão robusta essa solução é às mudanças nos parâmetros do problema. Especialmente em métodos gráficos, nos dá uma visão intuitiva e compreensão das dinâmicas subjacentes. Pratique com diferentes configurações de vértices e coeficientes de restrição à medida que se aprofunda. A programação linear combinada com a análise de sensibilidade proporciona um conjunto de ferramentas poderoso para enfrentar problemas de otimização em uma ampla variedade de áreas.


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