グラフ法における感度分析

感度分析は線形計画法において重要な部分であり、特にコスト、リソースの利用可能性、市場の需要などのパラメータが変化する現実世界の問題に対処する際に重要です。数学やオペレーションズリサーチの分野では、感度分析は、目的関数の係数や制約条件の右辺の値が変化したときに線形計画問題の解がどのように変わるかを理解するのに役立ちます。

線形計画法では、通常、線形の目的関数を最大化または最小化する際に、線形の不等式または等式制約のセットを扱います。グラフ法は、2変数の線形計画問題を解くための方法の1つであり、ここでは、実現可能な領域を視覚的に特定し、この領域の頂点または角を分析することで最適解を見つけることができます。

グラフ法の基本を理解する

グラフ法では、通常、2つの意思決定変数があり、これを2次元空間で表現できます。基本的なステップについての簡単なリフレッシャーです：

1. 最大化または最小化する目的関数を定義します。
2. 制約を表す線形不等式のシステムを設定します。
3. 適切なスケールを使用して、2次元平面に各線形不等式をグラフ化します。
4. すべての制約が満たされる重複領域を特定することにより、実現可能な領域を決定します。
5. 実現可能な領域の頂点を特定します。
6. 各頂点で目的関数を評価し、最適解を見つけます。

感度分析の概念

グラフ法の文脈における感度分析は、線形計画問題のパラメータの変化が最適解にどのように影響するかを理解することです。これには2つの主要な領域があります：

• 目的関数の係数:目的関数内の意思決定変数の係数の変化。
• 制約の右辺 (RHS):リソースの制限や制約の変動。

感度分析を行うことで、次の重要な質問に答えることができます：

• 目的関数の係数の変化に対して最適解はどの程度敏感ですか？
• 現在の解が最適でなくなるまで、リソースの利用可能性をどの程度増減できますか？
• 制約を追加または削除することが解にどのような影響を与えますか？

目的関数の係数の感度分析

目的関数が次のように与えられている線形計画問題を考えます：

最大化 Z = c1*x1 + c2*x2

ここで、c1 と c2 は意思決定変数 x1 と x2 の係数です。感度分析は、これらの係数を変動させて最適解がどのように変化するかを確認します。

例：

目的関数が次のような場合を考えます：

最大化 Z = 3x + 4y

制約条件：

2x + y ≤ 10
x + 2y ≤ 12
x ≥ 0
y ≥ 0

制約条件の実現可能な領域がグラフ化され、評価のための頂点が計算されます。

目的関数をグラフ上で評価するために頂点を特定してラベルを付けます。

• 頂点Aは(0,0): Z = 3*0 + 4*0 = 0
• 頂点Bは2x + y = 10とx = 0の交点であり、これは(0,10): Z = 3*0 + 4*10 = 40
• 頂点Cはx + 2y = 12とy = 0の交点であり、これは(12,0): Z = 3*12 + 4*0 = 36
• 頂点Dは両方の制約条件の交点: 連立方程式を解くと、x=4, y=3、つまり点(4,3): Z = 3*4 + 4*3 = 24

最も高いZの値は頂点Bで40です。我々の目的関数でc2を変化させてBがどのようにして最適であるかを見てみましょう。

c2が4から5に増加する場合：

最大化 Z = 3x + 5y

頂点Bから得られた結果: Z = 3*0 + 5*10 = 50

制約の右辺 (RHS) の感度分析

同じ例を考えます。今度は、RHSの値の変化が実現可能な領域と最適解にどのように影響するかを調査します。

基本的な制約条件：

2x + y ≤ 10
x + 2y ≤ 12

最初の条件のRHSを10から14に増やしてみましょう：

2x + y ≤ 14

この新しい制約により、実現可能な領域がどのように拡大するかをグラフで見てみましょう：

新しい頂点数：

• 頂点Dの計算の更新された変更。新しい方程式を解く。

新しい交点を見つけ、目的関数の結果を計算...

結論

感度分析は、最適解に焦点を当てるだけでなく、問題のパラメータの変化に対するその解の頑健性を探ることができるため、情報に基づいた意思決定を行う能力を広げます。特にグラフ法では、直感的な洞察と基礎的な動きを理解することができます。異なる頂点の構成や制約係数で練習を重ねると、より深く理解できます。線形計画法と感度分析を組み合わせることで、さまざまな分野での最適化問題に取り組むための強力なツールキットが提供されます。

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