ग्राफिकल विधि में संवेदनशीलता विश्लेषण

संवेदनशीलता विश्लेषण रैखिक प्रोग्रामिंग का एक महत्वपूर्ण भाग है, विशेष रूप से जब हम वास्तविक दुनिया की समस्याओं से निपटते हैं जहां लागत, संसाधन उपलब्धता या बाजार की मांग जैसे कुछ पैरामीटर बदल सकते हैं। गणित और संचालन अनुसंधान के क्षेत्र में, संवेदनशीलता विश्लेषण हमें यह समझने में मदद करता है कि जब उद्देश्य फंक्शन के गुणांक या बाधाओं के दाईं ओर के मानों में बदलाव होते हैं तो रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या का समाधान कैसे बदल जाता है।

रैखिक प्रोग्रामिंग में, हम अक्सर एक रैखिक उद्देश्य फंक्शन का अधिकतमकरण या न्यूनतमकरण करते हैं जो रैखिक असम्यताओं या समीकरण बाधाओं के सेट के अधीन होता है। ग्राफिकल विधि दो-वेरिएबल रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या को हल करने के तरीकों में से एक है, जहां हम नेत्रहीन रूप से व्यवहार्य क्षेत्र की पहचान कर सकते हैं और इस क्षेत्र के शीर्षकों या कोनों का विश्लेषण करके इष्टतम समाधान पा सकते हैं।

ग्राफिकल विधि की मूल बातें समझना

ग्राफिकल विधि में, आप आमतौर पर दो निर्णय वेरिएबल्स वाली समस्याओं पर काम करते हैं जिन्हें द्विआयामी स्थान में अंकित किया जा सकता है। यहां शामिल मूलभूत चरणों का एक त्वरित पुनश्चर्या है:

1. उस उद्देश्य फंक्शन को परिभाषित करें जिसे अधिकतम या न्यूनतम करना है।
2. बाधाओं का प्रतिनिधित्व करने वाली रैखिक असमयताओं की प्रणाली सेट करें।
3. उचित पैमाने का उपयोग करके प्रत्येक रैखिक असम्यता को एक द्विआयामी तल पर ग्राफ करें।
4. उस ओवरलैपिंग क्षेत्र की पहचान करके व्यवहार्य क्षेत्र निर्धारित करें जहां सभी बाधाएं संतुष्ट होती हैं।
5. व्यवहार्य क्षेत्र के शीर्षों (कोनों) की पहचान करें।
6. इष्टतम समाधान खोजने के लिए प्रत्येक शीर्ष पर उद्देश्य फंक्शन का मूल्यांकन करें।

संवेदनशीलता विश्लेषण की अवधारणा

ग्राफिकल विधि के संदर्भ में संवेदनशीलता विश्लेषण यह समझने के बारे में है कि रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या के मापदंडों में परिवर्तन से इष्टतम समाधान पर कैसे प्रभाव पड़ता है। इसमें दो मुख्य क्षेत्र हैं:

• उद्देश्य फंक्शन के गुणांक: उद्देश्य फंक्शन में निर्णय वेरिएबल्स के गुणांकों में परिवर्तन।
• बाधाओं के दाईं ओर (RHS): संसाधनों या सीमाओं की सीमाओं में भिन्नता।

संवेदनशीलता विश्लेषण करके, आप निम्नलिखित मुख्य सवालों के जवाब दे सकते हैं:

• उद्देश्य फंक्शन के गुणांकों में परिवर्तन के लिए इष्टतम समाधान कितना संवेदनशील है?
• वर्तमान समाधान अब इष्टतम नहीं होने से पहले हम संसाधनों की उपलब्धता को कितना बढ़ा या घटा सकते हैं?
• समाधान पर बाधाओं को जोड़ने या हटाने का क्या प्रभाव है?

उद्देश्य फंक्शन गुणांकों का संवेदनशीलता विश्लेषण

मान लीजिए आपके पास एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या है, जहां उद्देश्य फंक्शन इस प्रकार है:

अधिकतम Z = c1*x1 + c2*x2

यहां, c1 और c2 निर्णय वेरिएबल्स x1 और x2 के गुणांक हैं। संवेदनशीलता विश्लेषण में इन गुणांकों को बदलना शामिल है ताकि यह देखा जा सके कि इष्टतम समाधान कैसे बदलता है।

उदाहरण:

मान लीजिए उद्देश्य फंक्शन है:

अधिकतम Z = 3x + 4y

बाधाओं के साथ:

2x + y ≤ 10
x + 2y ≤ 12
x ≥ 0
y ≥ 0

बाधाओं के लिए व्यवहार्य क्षेत्र का ग्राफ बनाया जाता है, और मूल्यांकन के लिए शीर्षों की गणना की जाती है।

चलो ग्राफ पर उद्देश्य फंक्शन का मूल्यांकन करने के लिए शीर्षों को पहचानें और लेबल करें।

• शीर्ष A है (0,0): Z = 3*0 + 4*0 = 0
• शीर्ष B वह है जो 2x + y = 10 और x = 0 पर संयोजन बिंदु है, जो (0,10) है: Z = 3*0 + 4*10 = 40
• शीर्ष C वह बिंदु है जो x + 2y = 12 और y = 0 पर संयोजन बिंदु है, जो (12,0) है: Z = 3*12 + 4*0 = 36
• शीर्ष D दोनों बाधाओं का संयोजन है: समांतर समीकरणों का हल, x=4, y=3, अर्थात, बिंदु (4,3): Z = 3*4 + 4*3 = 24

सर्वोच्च Z मान 40 शीर्ष B पर है। चलो देखते हैं कैसे B इष्टतम बना रहता है जब हम हमारे उद्देश्य फंक्शन में c2 को बदलते हैं।

यदि c2 4 से बढ़कर 5 हो जाता है, तब:

अधिकतम Z = 3x + 5y

परिणाम जो शीर्ष B से प्राप्त होता है: Z = 3*0 + 5*10 = 50

बाधाओं के दाईं ओर (RHS) का संवेदनशीलता विश्लेषण

वही उदाहरण पर विचार करें। अब, हम देखेंगे कि RHS मानों में परिवर्तन से व्यवहार्य क्षेत्र और इष्टतम समाधान पर कैसे प्रभाव पड़ता है।

मूल बाधाएँ:

2x + y ≤ 10
x + 2y ≤ 12

आइए पहली स्थिति के RHS को 10 से 14 तक बढ़ाएं:

2x + y ≤ 14

ग्राफिकली देखें कि इस नए प्रतिबंध के साथ व्यवहार्य क्षेत्र कैसे फैलता है:

नई टॉप गिनती:

• नए समीकरणों को हल करके शीर्ष D की गणना में अद्यतन परिवर्तन।

नए संयोजन को खोजें, उद्देश्य फंक्शन के परिणामों की गणना करें...

निष्कर्ष

संवेदनशीलता विश्लेषण हमारी निर्णय लेने की क्षमता को व्यापक बनाता है न केवल एक इष्टतम समाधान पर ध्यान केंद्रित करके बल्कि यह भी अनुमति देकर कि हम यह खोजें कि इस समाधान की समस्या मापदंडों में परिवर्तन के लिए कितनी मजबूती है। विशेष रूप से ग्राफिकल विधियों में, यह हमें अंतर्निहित डायनेमिक्स की अंतर्ज्ञानयुक्त अंतर्दृष्टि और समझ प्रदान करता है। विभिन्न शीर्ष कॉन्फ़िगरेशन और बाधा गुणांकों के साथ अभ्यास करें जब आप और अधिक गहराई में जाएँ। रैखिक प्रोग्रामिंग, संवेदनशीलता विश्लेषण के संयोजन के साथ, अनुकूलन समस्याओं से निपटने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण प्रदान करता है जो विभिन्न क्षेत्रों में प्रभावी होता है।

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