Оптимальное решение в графическом методе линейного программирования

Линейное программирование — это мощный математический метод, используемый для определения наилучшего возможного результата в заданной математической модели. Его цель состоит в оптимизации определенной цели, такой как максимизация прибыли или минимизация затрат, с учетом набора ограничений. В данном контексте «графический метод» представляет собой визуальный подход к решению задач линейного программирования, особенно полезный для задач с двумя переменными. Давайте более подробно рассмотрим, как найти «оптимальное решение» с помощью этого метода.

Понимание основ

Графический метод включает несколько этапов, концепций и терминологий. Прежде чем обсуждать их, давайте начнем с основ:

• Целевая функция: Выражение, определяющее цель задачи оптимизации. Например, если мы хотим максимизировать прибыль, целевая функция может выглядеть как z = 3x + 4y, где z представляет прибыль.
• Ограничения: Это линейные неравенства, ограничивающие значения, которые могут принимать переменные решения. Например, x + 2y ≤ 20.
• Допустимая область: Область на графике, где все ограничения удовлетворяются. Это область перекрытия, представляющая все возможные решения.
• Вершины допустимой области: Точки на границе допустимой области, где пересекаются ограничения. Это потенциальные кандидаты на оптимальное решение.

Пошаговый графический метод для нахождения оптимального решения

Вот краткое описание того, как можно найти оптимальное решение, используя графический метод:

Шаг 1: Формулировка задачи

Определите целевую функцию и ограничения из условия задачи.

Например:
Целевая функция: максимизировать z = 3x + 4y
ограничения:
1. x + 2y ≤ 20
2. x ≤ 10
3. y ≤ 8
4. x ≥ 0, y ≥ 0 (условие неотрицательности)

Шаг 2: Построение графика ограничений

Постройте график каждого ограничения на одной системе координат. Это включает преобразование неравенств в уравнения для нахождения линий на 2D-графике.

x + 2y = 20 --> линия 1
x = 10 --> линия 2
y = 8 --> линия 3

Для первого условия x + 2y ≤ 20:

Если x = 0, то y = 10 --> (0, 10)
Если y = 0, то x = 20 --> (20, 0)

Область, ограниченная этими линиями и ограничениями неотрицательности, называется допустимой областью. Вычислите пересечения, где эти линии встречаются.

Шаг 3: Определение допустимой области

Допустимая область — это пересекающаяся область, удовлетворяющая всем ограничениям. Эта область обычно представляет собой многоугольник или неограниченную область. Допустимая область может быть определена следующим образом:

• Проверьте, где линии ограничения пересекаются, образуя вершины.
• Оцените условия неотрицательности x ≥ 0 и y ≥ 0.

Перечень вершин:

Вершины:
A(0, 0), 
B(0, 8), 
C(6, 7), 
D(10, 5)

Шаг 4: Тестирование вершин

Подставьте каждую вершину в целевую функцию, чтобы определить, какая из них дает оптимальное значение.

Целевая функция: z = 3x + 4y

Для A(0,0):
z = 3(0) + 4(0) = 0

Для B(0,8):
z = 3(0) + 4(8) = 32

Для C(6,7):
Z = 3(6) + 4(7) = 46

Для D(10,5):
Z = 3(10) + 4(5) = 50

Определите максимальное (или минимальное) значение в зависимости от целевой функции. В данном случае D(10,5) обеспечивает максимальное значение.

Шаг 5: Вывод оптимального решения

Оптимальное решение задачи линейного программирования — это вершина, которая дает оптимальное значение целевой функции 50 в точке D(10, 5).

Больше примеров

Давайте рассмотрим еще одну задачу линейного программирования, чтобы укрепить понимание графического метода:

Предположим, у производителя две разновидности продукции. Цель заключается в максимизации прибыли, которая определяется функцией z = 40x + 30y, где x и y — единицы продукции A и B соответственно.

При условии следующих ограничений:

1. 2x + y ≤ 25
2. 3x + 5y ≤ 45
3. x ≥ 0, y ≥ 0 (неотрицательность)

Построение графика ограничений

Для условия 1, 2x + y ≤ 25:
Если x = 0, то y = 25 --> (0, 25)
Если y = 0, то x = 12.5 --> (12.5, 0)

Ограничение 2, 3x + 5y ≤ 45:
Если x = 0, то y = 9 --> (0, 9)
Если y = 0, то x = 15 --> (15, 0)

Построив график ограничений, определите точки пересечения:

Пересечения:
— Между 2x + y = 25 и неотрицательностью: (0, 0), (0, 9)
— Между 3x + 5y = 45 и 2x + y = 25: (5, 15)

Тестирование вершин

Подставьте эти вершины в целевую функцию:

Для (0,0):
z = 40(0) + 30(0) = 0

Для (0,9):
Z = 40(0) + 30(9) = 270

Для (5,15):
Z = 40(5) + 30(15) = 650

Точка (5,15) дает максимальную прибыль.

Резюме понятий

Графический метод решения задач линейного программирования с двумя переменными является интуитивно понятным, обеспечивая визуальное представление и ясность при поиске оптимального решения. Вершины допустимой области проверяются с помощью целевой функции для оценки возможных максимальных или минимальных значений. Этот простой и систематический подход позволяет принимать решения в области управления ресурсами, минимизации затрат и максимизации прибыли.

В заключение, хотя графический метод подходит для двоичных случаев, он обеспечивает основное понимание более сложных методов, применимых к многомерным задачам линейного программирования в реальном мире.

комментарии