Solução ótima no método gráfico de programação linear

A programação linear é um método matemático poderoso usado para determinar o melhor resultado possível em um determinado modelo matemático. Seu objetivo é otimizar um objetivo específico, como maximizar o lucro ou minimizar o custo, sujeito a um conjunto de restrições. Nesse contexto, o "método gráfico" é uma abordagem visual para resolver problemas de programação linear, especialmente útil para problemas com duas variáveis. Vamos dar uma olhada mais profunda em como encontrar a "solução ótima" usando esse método.

Compreendendo os fundamentos

O método gráfico envolve várias etapas, conceitos e terminologia. Antes de discutí-los, vamos começar com o básico:

• Função objetivo: Uma expressão que define o objetivo do problema de otimização. Por exemplo, se queremos maximizar o lucro, a função objetivo pode ser z = 3x + 4y, onde z representa o lucro.
• Restrições: São inequações lineares que limitam os valores que a variável de decisão pode assumir. Por exemplo, x + 2y ≤ 20.
• Região viável: A região no gráfico onde todas as restrições são satisfazíveis. Esta é a região de sobreposição que representa todas as soluções possíveis.
• Vértices da região viável: Os pontos na fronteira da região viável onde as restrições se intersectam. Estes são os candidatos potenciais para a solução ótima.

Método gráfico passo a passo para encontrar a solução ótima

Aqui está uma breve descrição de como você pode encontrar a solução ótima usando o método gráfico:

Passo 1: Formulação do problema

Identifique a função objetivo e as restrições a partir do enunciado do problema.

Por exemplo:
Função objetivo: maximizar z = 3x + 4y
Restrições:
1. x + 2y ≤ 20
2. x ≤ 10
3. y ≤ 8
4. x ≥ 0, y ≥ 0 (condição de não-negatividade)

Passo 2: Representação gráfica das restrições

Represente cada restrição no mesmo conjunto de eixos. Isso envolve transformar as inequações em equações para encontrar linhas em um gráfico 2D.

x + 2y = 20 --> Linha 1
x = 10 --> linha 2
y = 8 --> linha 3

Para a primeira condição, x + 2y ≤ 20:

Se x = 0, então y = 10 --> (0, 10)
Se y = 0, então x = 20 --> (20, 0)

A região delimitada por essas linhas e as restrições de não-negatividade é chamada de região viável. Calcule as interseções onde essas linhas se encontram.

Passo 3: Identificação da área viável

A região viável é a região de sobreposição que satisfaz todas as restrições. Essa região é geralmente um polígono ou uma região não limitada. A região viável pode ser identificada da seguinte forma:

• Verifique onde as linhas de restrição se intersectam para formar vértices.
• Avalie as condições de não-negatividade x ≥ 0 e y ≥ 0.

Liste os vértices:

Vértices:
A(0, 0), 
B(0, 8), 
C(6, 7), 
D(10, 5)

Passo 4: Testando os vértices

Substitua cada vértice na função objetivo para determinar qual deles fornece o valor ótimo.

Função objetivo: z = 3x + 4y

Para A(0,0):
z = 3(0) + 4(0) = 0

Para B(0,8):
z = 3(0) + 4(8) = 32

Para C(6,7):
Z = 3(6) + 4(7) = 46

Para D(10,5):
Z = 3(10) + 4(5) = 50

Identifique o valor máximo (ou mínimo) com base na função objetivo. Neste caso, D(10,5) fornece o valor máximo.

Passo 5: Conclusão da solução ótima

A solução ótima para o problema de programação linear é o vértice que fornece o valor ótimo da função objetivo, 50, no ponto D(10, 5).

Mais exemplos

Vamos explorar outro problema de programação linear para reforçar o método gráfico:

Considere um fabricante que produz dois tipos de produtos. Suponha que o objetivo seja maximizar o lucro, definido pela função z = 40x + 30y, onde x e y são as unidades dos produtos A e B, respectivamente.

Sujeito às seguintes restrições:

1. 2x + y ≤ 25
2. 3x + 5y ≤ 45
3. x ≥ 0, y ≥ 0 (não-negatividade)

Representação gráfica das restrições

Para a condição 1, 2x + y ≤ 25:
Se x = 0, então y = 25 --> (0, 25)
Se y = 0, então x = 12.5 --> (12.5, 0)

Restrição 2, 3x + 5y ≤ 45:
Se x = 0, então y = 9 --> (0, 9)
Se y = 0, então x = 15 --> (15, 0)

Representando as restrições graficamente, identifique os pontos de intersecção:

Interseção:
– Entre 2x + y = 25 e não-negatividade: (0, 0), (0, 9)
– Entre 3x + 5y = 45 e 2x + y = 25: (5, 15)

Testando os vértices

Substitua esses vértices na função objetivo:

Para (0,0):
z = 40(0) + 30(0) = 0

Para (0,9):
Z = 40(0) + 30(9) = 270

Para (5,15):
Z = 40(5) + 30(15) = 650

O ponto de solução (5,15) resulta no lucro máximo.

Resumo dos conceitos

O método gráfico para resolver problemas de programação linear em duas variáveis é intuitivo, proporcionando representação visual e clareza na busca da solução ótima. Os vértices da região viável são testados em relação à função objetivo para avaliar os possíveis valores máximos ou mínimos. Essa abordagem direta e sistemática permite a tomada de decisões em gestão de recursos, minimização de custos e maximização de lucros.

Em conclusão, embora o método gráfico atenda a casos binários, ele fornece uma compreensão fundamental para métodos mais avançados aplicáveis a cenários de programação linear multidimensionais do mundo real.

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