लिनीयर प्रोग्रामिंग के ग्राफिकल विधि में सर्वोत्तम समाधान

लिनीयर प्रोग्रामिंग एक शक्तिशाली गणितीय विधि है जिसका उपयोग किसी दिए गए गणितीय मॉडल में सर्वोत्तम संभव परिणाम निर्धारित करने के लिए किया जाता है। इसका उद्देश्य किसी विशेष उद्देश्य को अनुकूलित करना है, जैसे कि लाभ को अधिकतम करना या लागत को न्यूनतम करना, बाधाओं के एक सेट के अधीन। इस संदर्भ में, "ग्राफिकल विधि" लिनीयर प्रोग्रामिंग समस्याओं को हल करने के लिए एक दृश्य दृष्टिकोण है, विशेष रूप से उन समस्याओं के लिए उपयोगी है जिनमें दो चरों के होते हैं। आइए इस विधि का उपयोग करके "सर्वोत्तम समाधान" कैसे प्राप्त करें, इस पर गहराई से विचार करें।

मूल तत्वों को समझना

ग्राफिकल विधि में कई चरण, अवधारणाएँ और शब्दावली शामिल हैं। इन पर चर्चा करने से पहले, आइए मूल तत्वों से शुरू करें:

• उद्देश्य फलन: एक अभिव्यक्ति जो अनुकूलन समस्या के लक्ष्य को परिभाषित करती है। उदाहरण के लिए, यदि हम लाभ को अधिकतम करना चाहते हैं, तो उद्देश्य फलन z = 3x + 4y जैसा हो सकता है, जहाँ z लाभ का प्रतिनिधित्व करता है।
• बाधाएँ: ये लिनीयर असमानताएँ हैं जो निर्णय चर के मूल्य को सीमित करती हैं। उदाहरण के लिए, x + 2y ≤ 20।
• संभाव्य क्षेत्र: ग्राफ पर वह क्षेत्र जहाँ सभी बाधाएँ संतुष्ट होती हैं। यह ओवरलैप क्षेत्र है जो सभी संभाव्य समाधान का प्रतिनिधित्व करता है।
• संभाव्य क्षेत्र के वर्टिसेस: संभावना क्षेत्र की सीमा पर वे बिंदु जहाँ बाधाएँ प्रतिच्छेद करती हैं। ये सर्वोत्तम समाधान के संभावित उम्मीदवार होते हैं।

सर्वोत्तम समाधान खोजने की चरण-दर-चरण ग्राफिकल विधि

यहाँ कैसे आप ग्राफिकल विधि का उपयोग करके सर्वोत्तम समाधान पा सकते हैं, इसका संक्षिप्त वर्णन है:

चरण 1: समस्या का निर्माण

दी गई समस्या के कथन से उद्देश्य फलन और बाधाएँ पहचानें।

 उदाहरण के लिए: उद्देश्य फलन: अधिकतम z = 3x + 4y प्रतिबंध: 1. x + 2y ≤ 20 2. x ≤ 10 3. y ≤ 8 4. x ≥ 0, y ≥ 0 (गैर-ऋणात्मकता शर्त) 

चरण 2: बाधाओं को ग्राफ में बनाना

एक ही अक्ष के सेट पर प्रत्येक बाधा को ग्राफ में बनाएं। इसमें असमानताओं को समीकरणों में परिवर्तित करना शामिल है ताकि 2डी ग्राफ पर रेखाएँ खोजी जा सकें।

 x + 2y = 20 --> रेखा 1 x = 10 --> रेखा 2 y = 8 --> रेखा 3 

पहली स्थिति के लिए, x + 2y ≤ 20:

 यदि x = 0, तो y = 10 --> (0, 10) यदि y = 0, तो x = 20 --> (20, 0) 

इन रेखाओं और गैर-ऋणात्मकता प्रतिबंध की सीमा द्वारा घिरा क्षेत्र संभाव्य क्षेत्र कहा जाता है। उन बिंदुओं की गणना करें जहाँ ये रेखाएँ मिलती हैं।

चरण 3: संभाव्य क्षेत्र की पहचान

संभाव्य क्षेत्र वह ओवरलैपिंग क्षेत्र है जो सभी बाधाओं को संतुष्ट करता है। यह क्षेत्र आमतौर पर एक बहुभुज या एक अनबाउंडेड क्षेत्र होता है। संभाव्य क्षेत्र की पहचान इस प्रकार की जा सकती है:

• यह जाँचें कि प्रतिबंध रेखाएँ कहाँ प्रतिच्छेद करती हैं और वर्टिसेस बनाती हैं।
• गैर ऋणात्मकता शर्तें x ≥ 0 और y ≥ 0 का मूल्यांकन करें।

वर्टिसेस की सूची बनाएं:

 वर्टिसेस: A(0, 0), B(0, 8), C(6, 7), D(10, 5) 

चरण 4: वर्टेक्स का परीक्षण

प्रत्येक वर्टेक्स को लक्ष्य फलन में प्रतिस्थापित करें ताकि यह निर्धारित किया जा सके कि कौन सा सर्वोत्तम मान प्रदान करता है।

 उद्देश्य फलन: z = 3x + 4y A(0,0) के लिए: z = 3(0) + 4(0) = 0 B(0,8) के लिए: z = 3(0) + 4(8) = 32 C(6,7) के लिए: Z = 3(6) + 4(7) = 46 D(10,5) के लिए: Z = 3(10) + 4(5) = 50 

लक्ष्य फलन के आधार पर अधिकतम (या न्यूनतम) मान की पहचान करें। इस मामले में, D(10,5) अधिकतम मान प्रदान करता है।

चरण 5: सर्वोत्तम समाधान बताएं

लिनीयर प्रोग्रामिंग समस्या का सर्वोत्तम समाधान वर्टेक्स है जो लक्ष्य फलन के 50 का सर्वोत्तम मान देता है बिंदु D(10, 5) में।

अधिक उदाहरण

आइए ग्राफिकल विधि को मजबूती से समझने के लिए दूसरे लिनीयर प्रोग्रामिंग समस्या का पता लगाएं:

किसी निर्माता पर विचार करें जो दो प्रकार के उत्पाद बनाता है। मान लीजिए कि लक्ष्य लाभ को अधिकतम करना है, जो फलन z = 40x + 30y द्वारा परिभाषित है, जहाँ x और y क्रमशः उत्पाद A और B की इकाइयाँ हैं।

निम्नलिखित बाधाओं के अधीन:

 1. 2x + y ≤ 25 2. 3x + 5y ≤ 45 3. x ≥ 0, y ≥ 0 (गैर-ऋणात्मकता) 

बाधाओं का ग्राफ बनाना

 स्थिति 1 के लिए, 2x + y ≤ 25: यदि x = 0, तो y = 25 --> (0, 25) यदि y = 0, तो x = 12.5 --> (12.5, 0) प्रतिबंध 2, 3x + 5y ≤ 45: यदि x = 0, तो y = 9 --> (0, 9) यदि y = 0, तो x = 15 --> (15, 0) 

बाधाओं को ग्राफ में बनाकर, प्रतिच्छेदन बिंदुओं की पहचान करें:

 प्रतिच्छेदन: – 2x + y = 25 और गैर-ऋणात्मकता के बीच: (0, 0), (0, 9) – 3x + 5y = 45 और 2x + y = 25 के बीच: (5, 15) 

वर्टेक्स का परीक्षण

इन वर्टिसेस को लक्ष्य फलन में प्रतिस्थापित करें:

 (0,0) के लिए: z = 40(0) + 30(0) = 0 (0,9) के लिए: Z = 40(0) + 30(9) = 270 (5,15) के लिए: Z = 40(5) + 30(15) = 650 

उपाय बिंदु (5,15) अधिकतम लाभ में परिणत होता है।

अवधारणाओं का सारांश

दो चर वाल заявки - लिनीयर प्रोग्रामिंग समस्याओं को हल करने के लिए ग्राफिकल विधि सहज है, जो सर्वोत्तम समाधान खोजने में दृश्य प्रस्तुति और स्पष्टता प्रदान करता है। संभावना क्षेत्र के प्रारंभिक बिंद्ध को अधिकतम या न्यूनतम संभाव्य मूल्यों का आकलन करने के लिए लक्ष्य फलन के साथ परीक्षण किया जाता है। यह सरल, व्यवस्थित दृष्टिकोण संसाधन प्रबंधन, लागत न्यूनीकरण, और लाभ अधिकतमकरण में निर्णय लेने की अनुमति देता है।

समाप्ति में, जबकि ग्राफिकल विधि दो-वलंत मामलों के लिए उपलब्ध करती है, यह वास्तविक-जीवन लिनीयर प्रोग्रामिंग परिदृश्यों के लिए अधिक उन्नत विधियों की एक आधारभूत समझ प्रदान करती है।

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