Solución óptima en el método gráfico de programación lineal

La programación lineal es un poderoso método matemático utilizado para determinar el mejor resultado posible en un modelo matemático dado. Su propósito es optimizar un objetivo en particular, como maximizar el beneficio o minimizar el costo, sujeto a un conjunto de restricciones. En este contexto, el "método gráfico" es un enfoque visual para resolver problemas de programación lineal, especialmente útil para problemas con dos variables. Echemos un vistazo más profundo a cómo encontrar la "solución óptima" utilizando este método.

Entender lo básico

El método gráfico implica varios pasos, conceptos y terminología. Antes de discutir estos, comencemos con lo básico:

• Función objetivo: Una expresión que define el objetivo del problema de optimización. Por ejemplo, si queremos maximizar el beneficio, la función objetivo podría ser z = 3x + 4y, donde z representa el beneficio.
• Restricciones: Estas son desigualdades lineales que limitan los valores que puede tomar la variable de decisión. Por ejemplo, x + 2y ≤ 20.
• Región factible: La región del gráfico donde se satisfacen todas las restricciones. Esta es la región de superposición que representa todas las soluciones posibles.
• Vértices de la región factible: Los puntos en el límite de la región factible donde las restricciones se intersectan. Estos son los posibles candidatos para la solución óptima.

Método gráfico paso a paso para encontrar la solución óptima

A continuación se describe brevemente cómo se puede encontrar la solución óptima utilizando el método gráfico:

Paso 1: Formulación del problema

Identificar la función objetivo y las restricciones del enunciado del problema dado.

Por ejemplo:
Función objetivo: maximizar z = 3x + 4y
restricciones:
1. x + 2y ≤ 20
2. x ≤ 10
3. y ≤ 8
4. x ≥ 0, y ≥ 0 (condición de no negatividad)

Paso 2: Graficar las restricciones

Graficar cada restricción en el mismo conjunto de ejes. Esto implica convertir desigualdades en ecuaciones para encontrar líneas en un gráfico 2D.

x + 2y = 20 --> Línea 1
x = 10 --> línea 2
y = 8 --> línea 3

Para la primera condición, x + 2y ≤ 20:

Si x = 0, entonces y = 10 --> (0, 10)
Si y = 0, entonces x = 20 --> (20, 0)

La región delimitada por estas líneas y las restricciones de no negatividad se llama la región factible. Calcule las intersecciones donde estas líneas se encuentran.

Paso 3: Identificación del área factible

La región factible es la región superpuesta que satisface todas las restricciones. Esta región suele ser un polígono o una región no acotada. La región factible se puede identificar de la siguiente manera:

• Verifique dónde se intersectan las líneas de restricción para formar vértices.
• Evalúe las condiciones de no negatividad x ≥ 0 y y ≥ 0.

Listar los vértices:

Vértices:
A(0, 0), 
B(0, 8), 
C(6, 7), 
D(10, 5)

Paso 4: Comprobación del vértice

Sustituir cada vértice en la función objetivo para determinar cuál proporciona el valor óptimo.

Función objetivo: z = 3x + 4y

Para A(0,0):
z = 3(0) + 4(0) = 0

Para B(0,8):
z = 3(0) + 4(8) = 32

Para C(6,7):
Z = 3(6) + 4(7) = 46

Para D(10,5):
Z = 3(10) + 4(5) = 50

Identifique el valor máximo (o mínimo) en función de la función objetivo. En este caso, D(10,5) proporciona el valor máximo.

Paso 5: Concluir la solución óptima

La solución óptima del problema de programación lineal es el vértice que da el valor óptimo de la función objetivo 50 en el punto D(10, 5).

Más ejemplos

Exploremos otro problema de programación lineal para reforzar el método gráfico:

Considere un fabricante que produce dos tipos de productos. Suponga que el objetivo es maximizar el beneficio, que está definido por la función z = 40x + 30y, donde x e y son las unidades de producto A y B, respectivamente.

Sujeto a las siguientes restricciones:

1. 2x + y ≤ 25
2. 3x + 5y ≤ 45
3. x ≥ 0, y ≥ 0 (no negatividad)

Graficación de las restricciones

Para la condición 1, 2x + y ≤ 25:
Si x = 0, entonces y = 25 --> (0, 25)
Si y = 0, entonces x = 12.5 --> (12.5, 0)

Restricción 2, 3x + 5y ≤ 45:
Si x = 0, entonces y = 9 --> (0, 9)
Si y = 0, entonces x = 15 --> (15, 0)

Al graficar las restricciones, identifíquese los puntos de intersección:

Intersección:
– Entre 2x + y = 25 y no negatividad: (0, 0), (0, 9)
– Entre 3x + 5y = 45 y 2x + y = 25: (5, 15)

Comprobación del vértice

Sustituya estos vértices en la función objetivo:

Para (0,0):
z = 40(0) + 30(0) = 0

Para (0,9):
Z = 40(0) + 30(9) = 270

Para (5,15):
Z = 40(5) + 30(15) = 650

El punto de solución (5,15) resulta en el máximo beneficio.

Resumen de conceptos

El método gráfico para resolver problemas de programación lineal en dos variables es intuitivo, proporcionando representación visual y claridad para encontrar la solución óptima. Los vértices de la región factible se prueban contra la función objetivo para evaluar los posibles valores máximos o mínimos. Este enfoque sistemático y sencillo facilita la toma de decisiones en la gestión de recursos, minimización de costos y maximización de beneficios.

En conclusión, si bien el método gráfico se adapta a casos binarios, proporciona una comprensión fundamental para métodos más avanzados aplicables a escenarios de programación lineal multidimensionales y del mundo real.

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