Понимание допустимых и недопустимых областей в линейном программировании

Линейное программирование — это мощный математический метод, используемый для оптимизации. Оно предполагает выбор наилучшего результата при определенном наборе ограничений. Чтобы упростить концепцию, задачи линейного программирования иногда можно решить с помощью графического метода. Это подходит для задач с двумя переменными решений, поскольку их можно легко отобразить на двумерном графике.

В графическом методе мы часто сталкиваемся с такими терминами, как «допустимая область» и «невозможная область». Понимание этих областей важно для поиска решений задач линейного программирования. Мы подробно рассмотрим эти концепции здесь, используя различные примеры и наглядные пособия, чтобы объяснение было ясным и лаконичным.

Что такое вероятные и невероятные области?

В линейном программировании допустимая область — это набор всех возможных точек, удовлетворяющих всем ограничениям задачи, тогда как недопустимая область — это та, где ни одна точка не удовлетворяет хотя бы одному ограничению.

Чтобы лучше понять эти концепции, давайте начнем с рассмотрения простой задачи линейного программирования с двумя переменными.

Пример задачи

Предположим, что компания производит два продукта, ( P_1 ) и ( P_2 ). Ее цель — максимизировать прибыль, как описано в следующей функции:

[
text{максимизировать} Z = 40P_1 + 30P_2
]

Ограничения для этой задачи могут быть следующими:

[
begin{align*}
2P_1 + P_2 & leq 100 quad (text{Ресурс 1})\
P_1 + 3P_2 & leq 120 quad (text{Ресурс 2})\
P_1, P_2 & geq 0
end{align*}
]

Визуализация вероятностей

Каждое ограничение можно представить в виде линии на графике, и области с одной стороны линии будут представлять либо все точки, удовлетворяющие ограничению, либо те, которые не удовлетворяют. Нанося эти линии на график, мы можем определить, какие области допустимы, а какие нет.

Давайте представим ограничения:

Синяя линия представляет ограничение ( 2P_1 + P_2 = 100 ), а красная линия — ( P_1 + 3P_2 = 120 ). Область ниже и слева от этих линий и осей является допустимой областью, где все ограничения удовлетворяются одновременно.

Допустимая область

Допустимая область — это пересечение, где все неравенства накладываются друг на друга. В этой области все ограничения выполняются. Это важно, поскольку любое возможное решение нашей задачи должно находиться в этой области, включая линии границы.

На нашем графике допустимая область обычно является многоугольником. Вершины этого многоугольника называют «угловыми точками» или «крайними точками». Согласно основной теореме линейного программирования, если существует оптимальное решение, оно будет находиться в одной из этих вершин.

Недопустимая область

Любая точка, не попадающая в допустимую область, попадает в недопустимую область. Эти точки не выполняют всех заданных ограничений. Если решение попадает в эту область, это означает, что по крайней мере одно или несколько ограничений нарушены.

Поиск допустимой области

Чтобы правильно определить допустимую область, мы изучаем точки с обеих сторон пограничных линий, создаваемых ограничениями, чтобы увидеть, какая сторона неравенства удовлетворяет всем ограничениям.

Давайте воспользуемся нашим примером и проверим одну точку. Мы выберем начало координат (0,0), которое является общей тестовой точкой:

[
begin{align*}
2(0) + 0 & leq 100 quad text{правда} \
0 + 3(0) & leq 120 quad text{правда}
end{align*}
]

Поскольку начало координат удовлетворяет обоим ограничениям, оно находится в допустимой области.

Реальная интерпретация вероятных и невероятных областей

В реальных сценариях допустимая область может представлять различные возможности ресурсов или рыночные условия. Например, в производстве она может означать ограничения по трудовым часам или сырьевым материалам. Каждая точка в пределах допустимой области представляет конкретное сочетание переменных решений, остающихся в пределах этих ограничений.

Недопустимая область обычно представляет ситуации, которые не могут или не должны происходить, например, превышение ресурсных возможностей или работа за пределами финансовых ограничений.

Альтернативный пример

Давайте попробуем другую задачу линейного программирования, чтобы закрепить это понятие.

Предположим, что фермер располагает 90 акрами земли, пригодной для выращивания пшеницы ((W)) и ячменя ((B)). Цель — использовать землю эффективно и оптимально. Фермер сталкивается с следующими ограничениями:

[
begin{align*}
W + B & leq 90 quad (text{Общая площадь})\
W & geq 20 quad (text{Минимальный городской контракт на пшеницу})\
B & geq 30 quad (text{Минимальное требование для собственного потребления ячменя})
end{align*}
]

Эти ограничения гарантируют, что фермеры используют достаточно земли и выполняют минимальные требования. Построив график этих ограничений, фермеры могут определить подходящую площадь для посадки:

В этой ситуации перекрывающаяся область определяет допустимый объем поставок пшеницы и ячменя. За пределами этой области условия не выполняются; например, нарушаются ограничения на использование земли или минимальные требования к производству.

Важность допустимой зоны в принятии решений

Определение допустимой области важно в процессе принятия решений, особенно при попытке оптимально использовать ограниченные ресурсы. Это гарантирует, что любое решение соответствует всем заданным ограничениям и не нарушает никакие лимиты, что приводит к эффективному и результативному использованию ресурсов.

Допустимая область помогает экономистам, производителям, фермерам и бизнес-менеджерам понять, какие решения возможны, и выбрать лучший путь для достижения целей, таких как максимизация прибыли или минимизация затрат.

Заключение

Понимание допустимых и недопустимых областей в линейном программировании позволяет эффективно решать задачи в различных областях. Визуализируя ограничения в виде линий на графике и определяя, где они пересекаются, чтобы образовать допустимую область, можно легко определить оптимальное решение задачи.

Поскольку реальные задачи, как правило, более сложные, хотя и с большим количеством переменных для решения, понимание допустимых областей дает ценные сведения о оптимальных и практических решениях и направляет разумное стратегическое принятие решений в повседневных вызовах.

комментарии