Класс 12
  1. Введение в алгебру  1.1. Матрицы  1.1.1. Определение и типы матриц  1.1.2. Операции с матрицами  1.1.3. Транспонирование матрицы  1.1.4. Определители и их свойства  1.1.5. Обратная матрица  1.1.6. Решение линейных уравнений с помощью матриц  1.1.7. Применение матриц  1.2. Комплексные числа  1.2.1. Определение и представление комплексных чисел  1.2.2. Понимание алгебры комплексных чисел  1.2.3. Модуль и аргумент комплексных чисел  1.2.4. Введение в комплексные числа  1.2.5. Теорема Муавра  1.2.6. Корни комплексных чисел  1.2.7. Приложения в геометрии  1.3. Векторы и 3D геометрия  1.3.1. Векторная алгебра  1.3.2. Скалярное и векторное произведения  1.3.3. Уравнение прямой в пространстве  1.3.4. Уравнение плоскости в векторах и 3D геометрии  1.3.5. Расстояние между линиями и плоскостями  1.3.6. Угол между прямыми и плоскостями
  2. Вычисления  2.1. Пределы и непрерывность  2.1.1. Понятие границ  2.1.2. Продолжение работ  2.1.3. Виды разрывов  2.1.4. Понимание ограничений левой и правой руки  2.2. Дискриминация  2.2.1. Производная как скорость изменения  2.2.2. Техники дифференцирования  2.2.3. Производные высших порядков  2.2.4. Применение производных  2.2.5. Касательная и нормаль  2.2.6. Возрастательные и убывающие функции  2.3. Интеграция  2.3.1. Неопределенный интеграл  2.3.2. Опрелеленный интеграл  2.3.3. Техники интеграции  2.3.4. Понимание площади под кривой в интегрировании  2.3.5. Применение интегралов в геометрии  2.4. Дифференциальные уравнения  2.4.1. Формирование дифференциальных уравнений  2.4.2. Порядок и степень дифференциальных уравнений  2.4.3. Решения дифференциальных уравнений  2.4.4. Применение дифференциальных уравнений  2.4.5. Введение в линейные дифференциальные уравнения первого порядка
  3. Вероятность и статистика  3.1. Понимание вероятности  3.1.1. Понимание условной вероятности  3.1.2. Теорема Байеса  3.1.3. Понимание случайных величин в теории вероятностей и статистике  3.1.4. Распределения вероятностей  3.1.5. Биномиальное и нормальное распределение  3.2. Фигуры  3.2.1. Среднее и стандартное отклонение  3.2.2. Дисперсия и ковариация  3.2.3. Корреляция и регрессия  3.2.4. Понимание проверки гипотез в статистике
  4. Линейное программирование  4.1. Графический метод в линейном программировании  4.1.1. Понимание допустимых и недопустимых областей в линейном программировании  4.1.2. Оптимальное решение в графическом методе линейного программирования  4.1.3. Анализ чувствительности в графическом методе  4.2. Метод симплекс  4.2.1. Формулировка задач в методе симплекс  4.2.2. Решение задач линейного программирования с использованием метода симплекс  4.2.3. Метод двойственного симплекса
  5. Отношения и функции  5.1. Типы отношений  5.1.1. Рефлексивное отношение  5.1.2. Симметричные отношения  5.1.3. Понимание транзитивных отношений  5.1.4. Отношение эквивалентности  5.2. Типы задач  5.2.1. Отображение на  5.2.2. Функция взаимно однозначного соответствия  5.2.3. Обратная функция  5.2.4. Совместная работа  5.3. Обратные тригонометрические функции  5.3.1. Основные значения в обратных тригонометрических функциях  5.3.2. Свойства и графики обратных тригонометрических функций  5.3.3. Применения в анализе
  6. Продвинутая тригонометрия  6.1. Введение в тригонометрические уравнения  6.1.1. Общие решения уравнений в тригонометрических уравнениях  6.1.2. Формула преобразования  6.2. Гиперболические функции  6.2.1. Определения и свойства гиперболических функций  6.2.2. Связь между гиперболическими и тригонометрическими функциями
  7. Арифметическая логика  7.1. Логическое мышление  7.1.1. Утверждения и логические связки  7.1.2. Тавтология и противоречие  7.2. Доказательство  7.2.1. Прямое доказательство  7.2.2. Непрямые доказательства  7.2.3. Доказательство от противного  7.2.4. Доказательство методом математической индукции
  8. Применение математики  8.1. Применения исчисления  8.1.1. Проблемы максимума и минимума  8.1.2. Приложения экономики и биологии  8.1.3. Скорость изменения в физике  8.2. Применение вероятности  8.2.1. Анализ риска  8.2.2. Принятие решений в приложениях вероятности  8.2.3. Теория игр

Класс 12 ↓


Вероятность и статистика


Вероятность и статистика — это две взаимосвязанные области математики, которые занимаются анализом вероятности событий и интерпретацией данных. В этом контексте мы изучим основные концепции, определения, теоремы и примеры, используя эти две ветви.

Введение в теорию вероятностей

Вероятность — это мера вероятности наступления события. Она измеряется в виде числа от 0 до 1, где 0 означает невозможность, а 1 — уверенность. Чем выше вероятность наступления события, тем более вероятно его наступление.

Пример: Если подбросить честную монету, вероятность выпадения герба составляет 0,5. Это объясняется тем, что у монеты две стороны (герб и решка), и оба исхода одинаково вероятны.

Основы теории вероятностей

Чтобы понять вероятность, мы начнем с некоторых базовых терминов:

  • Эксперимент: Ситуация, связанная с случайностью или вероятностью, которая приводит к результатам, называемым исходами. Например, бросание кубика является экспериментом.
  • Исход: Возможный результат эксперимента по вероятности. Для кубика возможными исходами являются 1, 2, 3, 4, 5 и 6.
  • Событие: Конкретный исход или набор исходов. Например, получение четного числа (2, 4 или 6) является событием.
  • Пространство выборки: Набор всех возможных исходов. Если вы бросите кубик, пространство выборки будет {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Вероятность наступления события вычисляется путем деления количества благоприятных исходов на общее количество возможных исходов в пространстве выборки.

Вероятность события = (Количество благоприятных исходов) / (Общее количество возможных исходов)

Типы вероятностей

  • Теоретическая вероятность: Определяется на основе логики. Если у нас есть честный кубик, каждая грань имеет 1 из 6 шансов оказаться верхней.
  • Экспериментальная вероятность: Определяется на основе фактических экспериментов. Например, если вы подбрасываете монету 100 раз, и она выпадает гербом 53 раза, экспериментальная вероятность выпадения герба составляет 53/100.
  • Субъективная вероятность: Основывается на личном суждении. Например, вероятность дождя завтра может быть субъективной на основе текущих погодных условий и прошлого опыта.

Визуальный пример: подбрасывание монеты

Результаты: верх

Эта простая визуализация показывает результат подбрасывания монеты.

Введение в статистику

Статистика — это отрасль математики, которая занимается сбором, анализом, интерпретацией, представлением и организацией данных. Она позволяет понять данные и принять решения на их основе.

Хранение и типы данных

Данные можно собирать разными способами, и они обычно классифицируются на два типа:

  • Качественные данные: Это описательные данные, которые нельзя измерить, но можно классифицировать. Примеры включают цвета, имена или метки.
  • Количественные данные: Это числовые данные, которые можно измерить. Примеры включают возраст, рост или зарплату.

Организация данных

Организация данных включает в себя их обобщение и представление таким образом, чтобы можно было извлечь полезную информацию. Это можно сделать с помощью таблиц, диаграмм или графиков.

Пример: Таблица, показывающая количество студентов в трех различных классах:

Класс | Количество студентов --------------------------- A | 30 B | 25 C | 35

Меры центральной тенденции

Меры центральной тенденции — это статистические измерения, которые показывают центр или типичное значение набора данных. Наиболее распространенные — это среднее, медиана и мода.

  • Среднее: Среднее значение набора данных. Вычисляется путем сложения всех точек данных и деления на количество точек данных. 
    Среднее = (Сумма всех точек данных) / (Количество точек данных)
  • Медиана: Среднее значение набора данных при сортировке. Если количество точек данных нечетное, медиана — это среднее значение. Если количество четное, это среднее из двух средних точек.
  • Мода: Точка данных, которая встречается чаще всего в наборе данных.

Пример: Рассмотрим набор данных: 2, 3, 3, 6, 7.

  • Среднее: (2 + 3 + 3 + 6 + 7) / 5 = 4.2
  • Медиана: 3 (среднее значение)
  • Мода: 3 (наиболее часто встречающееся значение)

Меры разброса

Эти меры дают оценку того, насколько разбросаны точки данных в наборе данных.

  • Размах: Разница между самым высоким и самым низким значениями в наборе данных.
  • Дисперсия: Среднее квадратов отклонений от среднего.
  • Стандартное отклонение: Квадратный корень из дисперсии, что дает меру среднего расстояния от среднего значения.

Пример: Рассмотрим набор данных: 5, 6, 8, 9, 10.

  • Размах: 10 – 5 = 5
  • Дисперсия: Возведем в квадрат каждое отклонение: (5 - 7.6) 2 , (6 - 7.6) 2 и так далее, найдем их среднее.
  • Стандартное отклонение: Квадратный корень из дисперсии.

Визуальный пример: столбчатая диаграмма

Класс A Класс B Класс C

Эта столбчатая диаграмма показывает количество учащихся в трех классах.

Понятие вероятности в статистике

В статистике вероятность используется для определения вероятности того, что событие произойдет с учетом набора данных. Это включает применение математических правил и формул для анализа тенденций данных и выведения предсказаний или выводов.

Условная вероятность

Условная вероятность относится к вероятности наступления события на основе того факта, что другое событие уже произошло.

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

где P(A|B) — условная вероятность наступления события A с учетом того, что произошло событие B, P(A ∩ B) — вероятность того, что оба события произойдут, а P(B) — вероятность события B.

Пример: Какая вероятность вынуть туза из колоды карт, при условии, что вытянутая карта — это пика?

В колоде 52 карты содержится пиковый туз. Всего есть 13 пик.

  • P(Ace|Spade) = 1/13

Теорема Байеса

Теорема Байеса предоставляет способ обновления вероятности гипотезы по мере появления новых данных.

P(A|B) = [P(B|A) * P(A)] / P(B)

Это позволяет статистикам пересматривать свои прогнозы на основе новых данных.

Пример: Если 1% населения имеет заболевание, а тест на это заболевание имеет точность 99%, какова вероятность того, что человек имеет заболевание, если его тест оказался положительным?

Подставьте значения в формулу, чтобы найти условную вероятность.

Случайные величины и распределения вероятностей

Случайные величины используются для измерения исходов. Они могут быть дискретными или непрерывными.

Дискретная случайная величина

Это переменные, которые могут принимать счетное количество значений. Например, количество орлов при подбрасывании монеты или результат броска кубика.

Непрерывная случайная величина

Эти величины могут принимать бесконечное количество значений в пределах заданного диапазона. Примеры включают время, высоту и температуру.

Распределения вероятностей

Распределение вероятностей описывает, как вероятности распределяются по значениям случайной величины.

  • Функция распределения вероятностей (PMF): применяется к дискретным случайным величинам и дает вероятность того, что случайная величина равна некоторому значению.
  • Функция плотности вероятности (PDF): применяется к непрерывным случайным величинам и предоставляет вероятности для диапазона значений.

Пример: Рассмотрим бросание кубика, мы можем изобразить PMF.

Бросок Вероятность
1 1/6
2 1/6
3 1/6
4 1/6
5 1/6
6 1/6

Заключение

Понимание вероятности и статистики имеет решающее значение для принятия обоснованных решений на основе данных. Применяя основные понятия теории вероятностей, различные статистические меры и теоремы, такие как теорема Байеса, можно более точно интерпретировать данные. Эта комбинация предоставляет мощные инструменты для определения неопределенности, прогнозирования исходов и извлечения выводов из собранных данных. Таким образом, эти концепции находят применение в различных областях, от науки и техники до экономики и социальных наук.


Класс 12 → 3


U
username
0%
завершено в Класс 12

← предыдущая (2.4.5)
Введение в линейные дифференциальные уравнения первого порядка
следующая (3.1) →
Понимание вероятности

комментарии 



Вероятность и статистика

https://www.buddymath.com/g12/3?bmal=ru