12º ano
  1. Introdução à Álgebra  1.1. Matrizes  1.1.1. Definição e tipos de matrizes  1.1.2. Operações em matrizes  1.1.3. Transposição de uma matriz  1.1.4. Determinantes e suas propriedades  1.1.5. Inverso de uma matriz  1.1.6. Resolvendo equações lineares usando matrizes  1.1.7. Aplicações de matrizes  1.2. Números complexos  1.2.1. Definição e representação de números complexos  1.2.2. Compreendendo a álgebra dos números complexos  1.2.3. Módulo e argumento de números complexos  1.2.4. Introdução aos números complexos  1.2.5. Teorema de De Moivre  1.2.6. Raízes de números complexos  1.2.7. Aplicações em geometria  1.3. Vetores e geometria 3D  1.3.1. Álgebra vetorial  1.3.2. Produto escalar e vetorial  1.3.3. Equação de uma linha no espaço  1.3.4. Equação de um plano em vetores e geometria 3D  1.3.5. Distância entre retas e planos  1.3.6. Ângulo entre linhas e planos
  2. Cálculos  2.1. Limites e continuidade  2.1.1. O conceito de limites  2.1.2. Continuação das obras  2.1.3. Tipos de descontinuidade  2.1.4. Compreendendo as limitações da mão esquerda e da mão direita  2.2. Discriminação  2.2.1. Derivado como taxa de variação  2.2.2. Técnicas de diferenciação  2.2.3. Derivadas de ordem superior  2.2.4. Aplicações de derivadas  2.2.5. Tangente e normal  2.2.6. Funções crescentes e decrescentes  2.3. Integração  2.3.1. Integral indefinida  2.3.2. Integral definida  2.3.3. Técnicas de integração  2.3.4. Compreendendo a área sob a curva na integração  2.3.5. Aplicações de integrais em geometria  2.4. Equações Diferenciais  2.4.1. Formação de equações diferenciais  2.4.2. Ordem e grau de equações diferenciais  2.4.3. Soluções de equações diferenciais  2.4.4. Aplicações de equações diferenciais  2.4.5. Introdução às equações diferenciais lineares de primeira ordem
  3. Probabilidade e estatística  3.1. Compreendendo a Probabilidade  3.1.1. Compreendendo a probabilidade condicional  3.1.2. Teorema de Bayes  3.1.3. Compreendendo variáveis aleatórias em probabilidade e estatística  3.1.4. Distribuições de probabilidade  3.1.5. Distribuição binomial e normal  3.2. Figuras  3.2.1. Média e desvio padrão  3.2.2. Variância e covariância  3.2.3. Correlação e regressão  3.2.4. Compreendendo o teste de hipóteses em estatística
  4. Programação linear  4.1. Método gráfico em programação linear  4.1.1. Compreendendo regiões viáveis e inviáveis em programação linear  4.1.2. Solução ótima no método gráfico de programação linear  4.1.3. Análise de sensibilidade no método gráfico  4.2. Método Simplex  4.2.1. Formulação de problemas no método simplex  4.2.2. Resolvendo problemas de programação linear usando o método simplex  4.2.3. Método dual do simplex
  5. Relações e funções  5.1. Tipos de relações  5.1.1. Relação reflexiva  5.1.2. Relações simétricas  5.1.3. Compreendendo relações transitivas  5.1.4. Relação de equivalência  5.2. Tipos de tarefas  5.2.1. Função sobrejetora  5.2.2. Função um-para-um  5.2.3. Função inversa  5.2.4. Trabalho conjunto  5.3. Funções trigonométricas inversas  5.3.1. Valores principais em funções trigonométricas inversas  5.3.2. Propriedades e gráficos das funções trigonométricas inversas  5.3.3. Aplicações em cálculo
  6. Trigonometria avançada  6.1. Introdução às equações trigonométricas  6.1.1. Soluções gerais de equações em equações trigonométricas  6.1.2. Fórmula de transformação  6.2. Funções hiperbólicas  6.2.1. Definições e propriedades das funções hiperbólicas  6.2.2. Relação entre funções hiperbólicas e trigonométricas
  7. Lógica aritmética  7.1. Raciocínio lógico  7.1.1. Declarações e conectivos lógicos  7.1.2. Tautologia e contradição  7.2. Evidência  7.2.1. Evidência direta  7.2.2. Evidência indireta  7.2.3. Prova por contradição  7.2.4. Prova por indução matemática
  8. Aplicações da Matemática  8.1. Aplicações do cálculo  8.1.1. Problemas de máximo e mínimo  8.1.2. Aplicações de economia e biologia  8.1.3. Taxa de variação na física  8.2. Aplicações de Probabilidade  8.2.1. Análise de risco  8.2.2. Tomada de decisão em aplicações de probabilidade  8.2.3. Teoria dos jogos

12º ano ↓


Probabilidade e estatística


Probabilidade e estatística são dois campos interrelacionados da matemática que lidam com a análise da probabilidade de eventos e a interpretação de dados. Neste contexto, exploraremos os conceitos-chave, definições, teoremas e exemplos utilizando esses dois ramos.

Introdução à probabilidade

A probabilidade é uma medida da chance de um evento ocorrer. É medida como um número entre 0 e 1, onde 0 representa impossibilidade e 1 representa certeza. Quanto maior a probabilidade de um evento, mais provável é que ele ocorra.

Exemplo: Se você jogar uma moeda justa, a probabilidade de obter cara é 0,5. Isso ocorre porque a moeda tem dois lados (cara e coroa), e ambos os resultados são igualmente prováveis.

Noções básicas de probabilidade

Para entender a probabilidade, começamos com alguns termos básicos:

  • Experimento: Uma situação que envolve chance ou probabilidade e que leva a resultados chamados de desfechos. Por exemplo, lançar dados é um experimento.
  • Desfecho: O possível resultado de um experimento de probabilidade. Para um dado, os possíveis desfechos são 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
  • Evento: Um resultado específico ou um conjunto de resultados. Por exemplo, obter um número par (2, 4 ou 6) é um evento.
  • Espaço amostral: O conjunto de todos os possíveis desfechos. Se você lançar um dado, o espaço amostral é {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

A probabilidade de um evento ocorrer é calculada dividindo o número de resultados favoráveis pelo número total de resultados possíveis no espaço amostral.

Probabilidade de um evento = (Número de resultados favoráveis) / (Número total de resultados possíveis)

Tipos de probabilidade

  • Probabilidade teórica: Esta é determinada com base na lógica. Se tivermos um dado justo, cada lado tem uma chance de 1 em 6 de cair para cima.
  • Probabilidade experimental: Esta é determinada com base em experimentos reais. Por exemplo, se você lançar uma moeda 100 vezes e resultar em cara 53 vezes, a probabilidade experimental de obter cara é 53/100.
  • Probabilidade subjetiva: Baseia-se no julgamento pessoal. Por exemplo, a probabilidade de chover amanhã pode ser subjetiva com base nas condições climáticas atuais e em experiências passadas.

Exemplo visual: lançamento de moeda

Resultados: Cara

Esta visualização simples mostra o resultado de um lançamento de moeda.

Introdução à estatística

Estatística é o ramo da matemática que lida com a coleta, análise, interpretação, apresentação e organização de dados. Permite-nos entender os dados e tomar decisões com base neles.

Armazenamento e tipos de dados

Os dados podem ser coletados de várias formas e geralmente são classificados em dois tipos:

  • Dados qualitativos: Refere-se a dados descritivos que não podem ser medidos, mas podem ser classificados. Exemplos incluem cores, nomes ou etiquetas.
  • Dados quantitativos: Refere-se a dados numéricos que podem ser medidos. Exemplos incluem idade, altura ou salário.

Organizando os dados

Organizar os dados envolve resumi-los e apresentá-los de forma que informações úteis possam ser extraídas. Isso pode ser feito usando tabelas, gráficos ou diagramas.

Exemplo: Uma tabela mostrando o número de alunos em três classes diferentes:

Classe | Número de Alunos --------------------------- A | 30 B | 25 C | 35

Medidas de tendência central

Medidas de tendência central são métricas estatísticas que mostram o valor central ou típico de um conjunto de dados. As mais comuns são a média, a mediana e a moda.

  • Média: A média de um conjunto de dados. É calculada somando todos os pontos de dados e dividindo pelo número de pontos de dados. 
    Média = (Soma de todos os pontos de dados) / (Número de pontos de dados)
  • Mediana: O valor do meio de um conjunto de dados quando ordenado. Se o número de pontos de dados for ímpar, a mediana é o ponto do meio. Se o número for par, é a média dos dois pontos médios.
  • Moda: O ponto de dado que aparece mais frequentemente no conjunto de dados.

Exemplo: Considere o conjunto de dados: 2, 3, 3, 6, 7.

  • Média: (2 + 3 + 3 + 6 + 7) / 5 = 4,2
  • Mediana: 3 (valor do meio)
  • Moda: 3 (valor mais frequente)

Medidas de dispersão

Essas medidas fornecem uma estimativa de quão dispersos estão os pontos de dados no conjunto de dados.

  • Intervalo: A diferença entre os pontos de dados mais altos e mais baixos em um conjunto de dados.
  • Variância: A média dos quadrados das diferenças em relação à média.
  • Desvio padrão: A raiz quadrada da variância, que fornece uma medida da distância média em relação à média.

Exemplo: Considere o conjunto de dados: 5, 6, 8, 9, 10.

  • Intervalo: 10 – 5 = 5
  • Variância: Elevar ao quadrado cada desvio: (5 - 7,6) 2 , (6 - 7,6) 2 , etc., encontrar sua média.
  • Desvio padrão: A raiz quadrada da variância.

Exemplo visual: gráfico de barras

Classe A Classe B Classe C

Este gráfico de barras mostra o número de alunos em três classes.

O conceito de probabilidade em estatística

Em estatística, a probabilidade é usada para determinar o quão provável é que um evento ocorra, dado um conjunto de dados. Envolve a aplicação de regras e fórmulas matemáticas para analisar tendências de dados e fazer previsões ou conclusões.

Probabilidade condicional

Probabilidade condicional refere-se à probabilidade de ocorrência de um evento com base no fato de que outro evento já ocorreu.

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

onde P(A|B) é a probabilidade condicional do evento A ocorrer dado que B ocorreu, P(A ∩ B) é a probabilidade de ambos os eventos ocorrerem, e P(B) é a probabilidade do evento B.

Exemplo: Em um baralho de cartas, qual é a probabilidade de que um ás seja tirado, dado que a carta retirada é uma espada?

Há um ás de espada em um baralho de 52 cartas. Existem 13 espadas no total.

  • P(Ás|Espada) = 1/13

Teorema de Bayes

O teorema de Bayes fornece uma forma de atualizar a probabilidade de uma hipótese à medida que mais evidências se tornam disponíveis.

P(A|B) = [P(B|A) * P(A)] / P(B)

Isso permite que os estatísticos revisem suas previsões com base em novas evidências.

Exemplo: Se 1% de uma população tem uma doença e o teste para a doença é 99% preciso, qual é a probabilidade de que uma pessoa tenha a doença se o teste for positivo?

Substitua os valores na fórmula para encontrar a probabilidade condicional.

Variáveis aleatórias e distribuições de probabilidade

Variáveis aleatórias são usadas para medir resultados. Elas podem ser discretas ou contínuas.

Variável aleatória discreta

São variáveis que podem assumir um número contável de valores. Por exemplo, o número de caras em um lançamento de moeda ou o resultado de um lançamento de dados.

Variável aleatória contínua

Podem assumir um número infinito de valores dentro de um intervalo. Exemplos incluem tempo, altitude e temperatura.

Distribuições de probabilidade

A distribuição de probabilidade descreve como as probabilidades são distribuídas pelos valores de uma variável aleatória.

  • Função massa de probabilidade (PMF): aplica-se a variáveis aleatórias discretas e fornece a probabilidade de que uma variável aleatória seja exatamente igual a algum valor.
  • Função densidade de probabilidade (PDF): aplica-se a variáveis aleatórias contínuas e fornece probabilidades para um intervalo de valores.

Exemplo: Considere o lançamento de um dado, podemos desenhar a PMF.

Lançamento Probabilidade
1 1/6
2 1/6
3 1/6
4 1/6
5 1/6
6 1/6

Conclusão

Compreender probabilidade e estatística é crucial para tomar decisões informadas com base em dados. Ao aplicar conceitos básicos de probabilidade, várias medidas estatísticas e teoremas como o teorema de Bayes, pode-se interpretar dados com maior precisão. Esta combinação fornece ferramentas poderosas para definir a incerteza, prever resultados e tirar conclusões a partir de dados coletados. Assim, esses conceitos encontram aplicações em diversas áreas, desde ciência e engenharia até economia e ciências sociais.


12º ano → 3


U
username
0%
concluído em 12º ano

← Anterior (2.4.5)
Introdução às equações diferenciais lineares de primeira ordem
Próximo (3.1) →
Compreendendo a Probabilidade

Comentários 



Probabilidade e estatística

https://www.buddymath.com/g12/3?bmal=pt