Grado 12
  1. Introducción al Álgebra  1.1. Matrices  1.1.1. Definición y tipos de matrices  1.1.2. Operaciones en matrices  1.1.3. Transposición de una matriz  1.1.4. Determinantes y sus propiedades  1.1.5. Inverso de una matriz  1.1.6. Resolución de ecuaciones lineales usando matrices  1.1.7. Aplicaciones de matrices  1.2. Números complejos  1.2.1. Definición y representación de números complejos  1.2.2. Comprensión del álgebra de los números complejos  1.2.3. Módulo y argumento de números complejos  1.2.4. Introducción a los números complejos  1.2.5. Teorema de De Moivre  1.2.6. Raíces de números complejos  1.2.7. Aplicaciones en geometría  1.3. Vectores y geometría 3D  1.3.1. Álgebra de vectores  1.3.2. Producto escalar y vectorial  1.3.3. Ecuación de una línea en el espacio  1.3.4. Ecuación de un plano en vectores y geometría 3D  1.3.5. Distancia entre líneas y planos  1.3.6. Ángulo entre líneas y planos
  2. Cálculos  2.1. Límites y continuidad  2.1.1. Concepto de Límites  2.1.2. Continuación de trabajos  2.1.3. Tipos de discontinuidad  2.1.4. Comprendiendo las limitaciones de la mano izquierda y derecha  2.2. Discriminación  2.2.1. Derivado como tasa de cambio  2.2.2. Técnicas de diferenciación  2.2.3. Derivadas de orden superior  2.2.4. Aplicaciones de las derivadas  2.2.5. Tangente y normal  2.2.6. Funciones crecientes y decrecientes  2.3. Integración  2.3.1. Integral indefinida  2.3.2. Integral definida  2.3.3. Técnicas de integración  2.3.4. Entendiendo el área bajo la curva en integración  2.3.5. Aplicaciones de las integrales en geometría  2.4. Ecuaciones diferenciales  2.4.1. Formación de ecuaciones diferenciales  2.4.2. Orden y grado de las ecuaciones diferenciales  2.4.3. Soluciones de ecuaciones diferenciales  2.4.4. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales  2.4.5. Introducción a las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
  3. Probabilidad y estadística  3.1. Entendiendo la Probabilidad  3.1.1. Comprendiendo la probabilidad condicional  3.1.2. Teorema de Bayes  3.1.3. Comprendiendo las variables aleatorias en probabilidad y estadísticas  3.1.4. Distribuciones de probabilidad  3.1.5. Distribución binomial y normal  3.2. Figuras  3.2.1. Media y desviación estándar  3.2.2. Varianza y covarianza  3.2.3. Correlación y regresión  3.2.4. Comprendiendo la prueba de hipótesis en estadística
  4. Programación lineal  4.1. Método gráfico en programación lineal  4.1.1. Comprendiendo las regiones factibles y no factibles en la programación lineal  4.1.2. Solución óptima en el método gráfico de programación lineal  4.1.3. Análisis de sensibilidad en el método gráfico  4.2. Método simplex  4.2.1. Formulación de problemas en el método del simplex  4.2.2. Resolviendo problemas de programación lineal usando el método simplex  4.2.3. Método del simplejo dual
  5. Relaciones y funciones  5.1. Tipos de relaciones  5.1.1. Relación reflexiva  5.1.2. Relaciones simétricas  5.1.3. Comprendiendo las relaciones transitivas  5.1.4. Relación de equivalencia  5.2. Tipos de tareas  5.2.1. Función sobreyectiva  5.2.2. Función uno a uno  5.2.3. Función inversa  5.2.4. Trabajo conjunto  5.3. Funciones trigonométricas inversas  5.3.1. Valores principales en funciones trigonométricas inversas  5.3.2. Propiedades y gráficos de funciones trigonométricas inversas  5.3.3. Aplicaciones en cálculo
  6. Trigonometría avanzada  6.1. Introducción a las ecuaciones trigonométricas  6.1.1. Soluciones generales de ecuaciones en ecuaciones trigonométricas  6.1.2. Fórmula de transformación  6.2. Funciones hiperbólicas  6.2.1. Definiciones y propiedades de las funciones hiperbólicas  6.2.2. Relación entre funciones hiperbólicas y trigonométricas
  7. Lógica aritmética  7.1. Razonamiento lógico  7.1.1. Declaraciones y conectores lógicos  7.1.2. Tautología y contradicción  7.2. Evidencia  7.2.1. Evidencia directa  7.2.2. Evidencia indirecta  7.2.3. Prueba por contradicción  7.2.4. Prueba por inducción matemática
  8. Aplicaciones de las Matemáticas  8.1. Aplicaciones del cálculo  8.1.1. Problemas de máximos y mínimos  8.1.2. Aplicaciones de la economía y la biología  8.1.3. Tasa de cambio en física  8.2. Aplicaciones de la Probabilidad  8.2.1. Análisis de riesgo  8.2.2. Toma de decisiones en aplicaciones de probabilidad  8.2.3. Teoría de juegos

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Probabilidad y estadística


La probabilidad y la estadística son dos campos interrelacionados de las matemáticas que se ocupan de analizar la probabilidad de eventos e interpretar datos. En este contexto, exploraremos los conceptos clave, definiciones, teoremas y ejemplos utilizando estas dos ramas.

Introducción a la probabilidad

La probabilidad es una medida de la probabilidad de que ocurra un evento. Se mide como un número entre 0 y 1, donde 0 representa la imposibilidad y 1 representa la certeza. Cuanto mayor sea la probabilidad de un evento, más probable es que ocurra.

Ejemplo: Si lanzas una moneda justa, la probabilidad de obtener caras es 0,5. Esto se debe a que la moneda tiene dos caras (caras y cruz), y ambos resultados son igualmente probables.

Conceptos básicos de probabilidad

Para entender la probabilidad, comenzamos con algunos términos básicos:

  • Experimento: Una situación que involucra azar o probabilidad que conduce a resultados llamados resultados. Por ejemplo, lanzar un dado es un experimento.
  • Resultado: El posible resultado de un experimento de probabilidad. Para un dado, los posibles resultados son 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
  • Evento: Un resultado específico o un conjunto de resultados. Por ejemplo, obtener un número par (2, 4 o 6) es un evento.
  • Espacio muestral: El conjunto de todos los posibles resultados. Si lanzas un dado, el espacio muestral es {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

La probabilidad de que ocurra un evento se calcula dividiendo el número de resultados favorables por el número total de resultados posibles en el espacio muestral.

Probabilidad de un evento = (Número de resultados favorables) / (Número total de resultados posibles)

Tipos de probabilidad

  • Probabilidad teórica: Se determina basado en la lógica. Si tenemos un dado justo, cada lado tiene 1 en 6 posibilidades de caer boca arriba.
  • Probabilidad experimental: Se determina basándose en experimentos reales. Por ejemplo, si lanzas una moneda 100 veces y sale cara 53 veces, la probabilidad experimental de obtener cara es 53/100.
  • Probabilidad subjetiva: Se basa en el juicio personal. Por ejemplo, la probabilidad de que llueva mañana puede ser subjetiva según las condiciones climáticas actuales y experiencias pasadas.

Ejemplo visual: lanzamiento de moneda

Resultados: Superior

Esta simple visualización muestra el resultado de un lanzamiento de moneda.

Introducción a la estadística

La estadística es la rama de las matemáticas que se ocupa de recolectar, analizar, interpretar, presentar y organizar datos. Nos permite entender los datos y tomar decisiones basadas en ellos.

Almacenamiento de datos y tipos

Los datos pueden recopilarse de diversas maneras, y generalmente se clasifican en dos tipos:

  • Datos cualitativos: Se refiere a datos descriptivos que no pueden medirse pero pueden clasificarse. Ejemplos incluyen colores, nombres o etiquetas.
  • Datos cuantitativos: Se refiere a datos numéricos que pueden medirse. Ejemplos incluyen edad, altura o salario.

Organización de los datos

Organizar datos implica resumirlos y presentarlos para que se pueda extraer información útil. Esto se puede hacer utilizando tablas, gráficos o diagramas.

Ejemplo: Una tabla que muestra el número de estudiantes en tres clases diferentes:

Clase | Número de Estudiantes --------------------------- A | 30 B | 25 C | 35

Medidas de tendencia central

Las medidas de tendencia central son medidas estadísticas que muestran el centro o valor típico de un conjunto de datos. Las más comunes son la media, la mediana y la moda.

  • Media: El promedio de un conjunto de datos. Se calcula sumando todos los puntos de datos y dividiendo por el número de puntos de datos. 
    Media = (Suma de todos los puntos de datos) / (Número de puntos de datos)
  • Mediana: El valor medio de un conjunto de datos cuando está ordenado. Si el número de puntos de datos es impar, la mediana es el del medio. Si el número es par, es el promedio de los dos puntos del medio.
  • Moda: El punto de datos que aparece con mayor frecuencia en el conjunto de datos.

Ejemplo: Considera el conjunto de datos: 2, 3, 3, 6, 7.

  • Media: (2 + 3 + 3 + 6 + 7) / 5 = 4.2
  • Mediana: 3 (valor medio)
  • Moda: 3 (valor que ocurre con mayor frecuencia)

Medidas de dispersión

Estas medidas proporcionan una estimación de cuán dispersos están los puntos de datos en el conjunto de datos.

  • Rango: La diferencia entre los puntos de datos más altos y más bajos en un conjunto de datos.
  • Varianza: El promedio de los cuadrados de las diferencias respecto a la media.
  • Desviación estándar: La raíz cuadrada de la varianza, que proporciona una medida de la distancia promedio respecto a la media.

Ejemplo: Considera el conjunto de datos: 5, 6, 8, 9, 10.

  • Rango: 10 – 5 = 5
  • Varianza: Cuadra cada desviación: (5 - 7.6) 2 , (6 - 7.6) 2 , etc., encuentra su promedio.
  • Desviación estándar: La raíz cuadrada de la varianza.

Ejemplo visual: gráfico de barras

un clase Clase B Clase C

Este gráfico de barras muestra el número de estudiantes en tres clases.

El concepto de probabilidad en estadísticas

En estadística, la probabilidad se utiliza para determinar qué tan probable es que ocurra un evento dado un conjunto de datos. Implica aplicar reglas y fórmulas matemáticas para analizar tendencias de datos y hacer predicciones o conclusiones.

Probabilidad condicional

La probabilidad condicional se refiere a la probabilidad de ocurrencia de un evento basándose en el hecho de que otro evento ya ha ocurrido.

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

donde P(A|B) es la probabilidad condicional de que ocurra el evento A dado que B ha ocurrido, P(A ∩ B) es la probabilidad de que ocurran ambos eventos, y P(B) es la probabilidad del evento B.

Ejemplo: En una baraja de cartas, ¿cuál es la probabilidad de que se saque un as, dado que la carta sacada es una espada?

Hay un as de espadas en una baraja de 52 cartas. Hay 13 espadas en total.

  • P(As|Espada) = 1/13

Teorema de Bayes

El teorema de Bayes proporciona una forma de actualizar la probabilidad de una hipótesis a medida que hay más evidencia disponible.

P(A|B) = [P(B|A) * P(A)] / P(B)

Esto permite a los estadísticos revisar sus predicciones en base a nueva evidencia.

Ejemplo: Si el 1% de una población tiene una enfermedad, y la prueba para la enfermedad es 99% precisa, ¿cuál es la probabilidad de que una persona tenga la enfermedad si resulta positiva en la prueba?

Introduce los valores en la fórmula para encontrar la probabilidad condicional.

Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad

Las variables aleatorias se utilizan para medir resultados. Pueden ser discretas o continuas.

Variable aleatoria discreta

Son variables que pueden tomar un número contable de valores. Por ejemplo, el número de caras en un lanzamiento de moneda o el lanzamiento de un dado.

Variable aleatoria continua

Pueden tomar un número infinito de valores dentro de un rango dado. Ejemplos incluyen tiempo, altitud y temperatura.

Distribuciones de probabilidad

La distribución de probabilidad describe cómo se distribuyen las probabilidades sobre los valores de una variable aleatoria.

  • Función de masa de probabilidad (PMF): se aplica a variables aleatorias discretas y da la probabilidad de que una variable aleatoria sea exactamente igual a algún valor.
  • Función de densidad de probabilidad (PDF): se aplica a variables aleatorias continuas y proporciona probabilidades para un rango de valores.

Ejemplo: Considera el lanzamiento de un dado, podemos graficar la PMF.

Tirada Posibilidad
1 1/6
2 1/6
3 1/6
4 1/6
5 1/6
6 1/6

Conclusión

Entender la probabilidad y la estadística es crucial para tomar decisiones informadas basadas en datos. Al aplicar conceptos básicos de probabilidad, varias medidas estadísticas y teoremas como el teorema de Bayes, uno puede interpretar datos con mayor precisión. Esta combinación proporciona herramientas poderosas para definir la incertidumbre, predecir resultados y sacar conclusiones a partir de datos recolectados. Por lo tanto, estos conceptos encuentran aplicaciones en varios campos que van desde la ciencia y la ingeniería hasta la economía y las ciencias sociales.


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