二项分布和正态分布

概率和统计是数学的重要分支，帮助我们了解事件发生的可能性以及日常生活中可能出现的各种结果。在这些领域中使用的各种概率分布中，二项分布和正态分布是描述不同类型数据的两个基本模型。对于12年级的数学学生来说，理解这些分布非常重要，因为它们在从科学和工程到金融和社会科学的广泛领域中都有广泛的应用。

二项分布

二项分布是一种离散概率分布。它模拟了二元实验中固定次数试验中的成功次数。二元实验是指只有两种可能结果的实验，通常称为“成功”和“失败”。让我们借助定义、公式和示例来进一步了解二项分布。

基本定义

二项分布具有以下特征：

试验次数 (n)： 独立实验或试验次数。
成功概率 (p)： 单次实验中成功的概率。
失败概率 (q 或 1-p)： 单次实验中失败的概率。
成功次数 (k)： n 次试验中的典型成功次数。

在 n 次试验中恰好获得 k 次成功的概率由公式给出：

    P(x=k) = C(n,k) * P^k * (1-P)^(n-k)

其中 P(X = k) 是获得 k 次成功的概率，C(n, k) 是组合函数：

    C(n, k) = n! / [k!(n-k)!]

二项分布示例

考虑一个简单的例子：抛硬币5次。恰好出现3次正面的概率是多少？

在这里，我们有以下参数：

n = 5（试验次数）
p = 0.5（试验中获得正面的概率，因为一个公平的硬币有两个面）
k = 3（成功次数，在本例中为正面）

将这些值代入二项式公式：

    P(x = 3) = C(5, 3) * (0.5)^3 * (1-0.5)^(5-3)
             = 10 * 0.125 * 0.25
             = 0.3125

因此，当硬币被抛5次时，正面恰好出现3次的概率是0.3125或31.25%。

直观表示

此SVG显示了抛硬币5次（n=5）的二项分布条形图，成功概率（正面）为p=0.5。

正态分布

正态分布是一种围绕均值对称的连续概率分布，表明均值附近的数据出现频率比远离均值的数据更高。作为图表，正态分布会呈现为一个钟形曲线。

正态分布的性质

正态分布由其均值 (μ) 和标准差 (σ) 定义，其特征性质是：

曲线下的总面积为1。
曲线围绕均值 (μ) 对称。
大约 68% 的数据落在均值的一个标准差 (σ) 内。
大约 95% 的数据落在均值的两个标准差 (2σ) 内。
大约 99.7% 的数据落在均值的三个标准差 (3σ) 内。

正态分布公式

正态分布的概率密度函数（PDF）描述如下公式：

    f(x) = (1 / (σ * sqrt(2π))) * exp(-0.5 * ((x - μ) / σ)^2)

正态分布示例

假设一个班级的考试成绩呈正态分布，均值 (μ) 为 70，标准差 (σ) 为 10。您想知道随机选择的一名学生分数在 60 到 80 之间的概率。

要找到这个概率，您需要计算在这两个值之间的正态曲线下的面积。

直观表示

此SVG显示了正态分布曲线的基本示意图，显示了与均值的标准差。

Z分数

在正态分布中，Z分数用于确定一个数据点与均值的距离和方向。Z分数使用下面的公式计算：

    Z = (X − μ) / σ

其中 X 为数值，μ 为分布的均值，σ 为标准差。

Z分数计算示例

假设我们有一个以前考试的例子，均值为 70，标准差为 10。一名学生得了 85 分。Z分数是多少？

将数值代入 Z分数公式：

    Z = (85 - 70) / 10 = 1.5

这意味着 85 的分数比均值高出 1.5 个标准差。