二項分布と正規分布

確率と統計は、日々の生活の中で起こる出来事の可能性や予想すべき様々な結果を理解するのに役立つ数学の重要な分野です。これらの分野で使用される様々な確率分布の中で、二項分布と正規分布は異なるタイプのデータを記述するための2つの基本モデルです。科学や工学から金融や社会科学に至るまで幅広い分野で応用されるため、12年生の数学の学生がこれらの分布を理解することは特に重要です。

二項分布

二項分布は離散確率分布です。これは二項実験の一定回数の試行における成功の数をモデル化します。二項実験は「成功」と「失敗」の2つの結果しか持たない実験です。定義、公式、および例を通じて二項分布についてさらに学びましょう。

基本定義

二項分布は以下の特性によって定義されます：

試行回数 (n): 独立した実験または試行の数。
成功の確率 (p): 単一の実験で成功を収める確率。
失敗の確率 (q または 1-p): 単一の実験で失敗する確率。
成功の数 (k): n回の試行での典型的な成功の数。

n回の試行でちょうどk回成功する確率は次の公式で示されます：

    P(x=k) = C(n,k) * P^k * (1-P)^(n-k)

ここで、P(X = k) はk回成功する確率で、C(n, k) は組み合わせ関数です：

    C(n, k) = n! / [k!(n-k)!]

二項分布の例

簡単な例を考えてみましょう：コインを5回投げます。ちょうど3回表が出る確率はどれくらいですか？

ここで、次のパラメータがあります：

n = 5 (試行回数)
p = 0.5 (試行で表が出る確率、公正なコインは両側にあります)
k = 3 (成功回数、この場合は表)

これらの値を二項公式に代入します：

    P(x = 3) = C(5, 3) * (0.5)^3 * (1-0.5)^(5-3)
             = 10 * 0.125 * 0.25
             = 0.3125

したがって、コインを5回投げた際にちょうど3回表が出る確率は0.3125、または31.25%です。

視覚的表現

このSVGは、5回のコイン投げ(n=5)で成功の確率(表)がp=0.5の場合の二項分布の棒グラフを示しています。

正規分布

正規分布は、平均を中心に対称的で、平均に近いデータが平均から離れたデータよりも頻繁に発生することを示す連続確率分布です。グラフとしては正規分布はベルカーブのように見えます。

正規分布の特性

正規分布はその平均(μ)と標準偏差(σ)によって定義されます。その特性は次の通りです：

カーブの下の総面積は1です。
カーブは平均(μ)の周りで対称です。
データの約68%が1つの標準偏差(σ)以内に入ります。
データの約95%が2つの標準偏差(2σ)以内に入ります。
データの約99.7%が3つの標準偏差(3σ)以内に入ります。

正規分布の公式

正規分布の確率密度関数(PDF)は次の公式で記述されます：

    f(x) = (1 / (σ * sqrt(2π))) * exp(-0.5 * ((x - μ) / σ)^2)

正規分布の例

あるクラスのテストスコアが平均(μ)が70で標準偏差(σ)が10の正規分布になっているとします。ランダムに選ばれた学生が60から80の間でスコアを獲得した確率を見つけたい場合は、これを計算します。

これを見つけるためには、正規曲線の下のこの2つの値の間の面積を計算します。

視覚的表現

このSVGは、正規分布曲線の基本的な図を示し、平均からの標準偏差を表示しています。

Zスコア

正規分布では、Zスコアを使用してデータポイントが平均からどれだけ遠く、どの方向にあるかを決定します。Zスコアは次の公式を使用して計算されます：

    Z = (X − μ) / σ

ここで、Xは値、μは分布の平均、σは標準偏差です。

Zスコア計算の例

平均が70で標準偏差が10の以前の試験の例を持っているとします。ある学生は85点を取りました。Zスコアは何ですか？

Zスコアの公式に値を代入します：

    Z = (85 - 70) / 10 = 1.5

これは85というスコアが平均より1.5標準偏差上にあることを意味します。