Grado 12
  1. Introducción al Álgebra  1.1. Matrices  1.1.1. Definición y tipos de matrices  1.1.2. Operaciones en matrices  1.1.3. Transposición de una matriz  1.1.4. Determinantes y sus propiedades  1.1.5. Inverso de una matriz  1.1.6. Resolución de ecuaciones lineales usando matrices  1.1.7. Aplicaciones de matrices  1.2. Números complejos  1.2.1. Definición y representación de números complejos  1.2.2. Comprensión del álgebra de los números complejos  1.2.3. Módulo y argumento de números complejos  1.2.4. Introducción a los números complejos  1.2.5. Teorema de De Moivre  1.2.6. Raíces de números complejos  1.2.7. Aplicaciones en geometría  1.3. Vectores y geometría 3D  1.3.1. Álgebra de vectores  1.3.2. Producto escalar y vectorial  1.3.3. Ecuación de una línea en el espacio  1.3.4. Ecuación de un plano en vectores y geometría 3D  1.3.5. Distancia entre líneas y planos  1.3.6. Ángulo entre líneas y planos
  2. Cálculos  2.1. Límites y continuidad  2.1.1. Concepto de Límites  2.1.2. Continuación de trabajos  2.1.3. Tipos de discontinuidad  2.1.4. Comprendiendo las limitaciones de la mano izquierda y derecha  2.2. Discriminación  2.2.1. Derivado como tasa de cambio  2.2.2. Técnicas de diferenciación  2.2.3. Derivadas de orden superior  2.2.4. Aplicaciones de las derivadas  2.2.5. Tangente y normal  2.2.6. Funciones crecientes y decrecientes  2.3. Integración  2.3.1. Integral indefinida  2.3.2. Integral definida  2.3.3. Técnicas de integración  2.3.4. Entendiendo el área bajo la curva en integración  2.3.5. Aplicaciones de las integrales en geometría  2.4. Ecuaciones diferenciales  2.4.1. Formación de ecuaciones diferenciales  2.4.2. Orden y grado de las ecuaciones diferenciales  2.4.3. Soluciones de ecuaciones diferenciales  2.4.4. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales  2.4.5. Introducción a las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
  3. Probabilidad y estadística  3.1. Entendiendo la Probabilidad  3.1.1. Comprendiendo la probabilidad condicional  3.1.2. Teorema de Bayes  3.1.3. Comprendiendo las variables aleatorias en probabilidad y estadísticas  3.1.4. Distribuciones de probabilidad  3.1.5. Distribución binomial y normal  3.2. Figuras  3.2.1. Media y desviación estándar  3.2.2. Varianza y covarianza  3.2.3. Correlación y regresión  3.2.4. Comprendiendo la prueba de hipótesis en estadística
  4. Programación lineal  4.1. Método gráfico en programación lineal  4.1.1. Comprendiendo las regiones factibles y no factibles en la programación lineal  4.1.2. Solución óptima en el método gráfico de programación lineal  4.1.3. Análisis de sensibilidad en el método gráfico  4.2. Método simplex  4.2.1. Formulación de problemas en el método del simplex  4.2.2. Resolviendo problemas de programación lineal usando el método simplex  4.2.3. Método del simplejo dual
  5. Relaciones y funciones  5.1. Tipos de relaciones  5.1.1. Relación reflexiva  5.1.2. Relaciones simétricas  5.1.3. Comprendiendo las relaciones transitivas  5.1.4. Relación de equivalencia  5.2. Tipos de tareas  5.2.1. Función sobreyectiva  5.2.2. Función uno a uno  5.2.3. Función inversa  5.2.4. Trabajo conjunto  5.3. Funciones trigonométricas inversas  5.3.1. Valores principales en funciones trigonométricas inversas  5.3.2. Propiedades y gráficos de funciones trigonométricas inversas  5.3.3. Aplicaciones en cálculo
  6. Trigonometría avanzada  6.1. Introducción a las ecuaciones trigonométricas  6.1.1. Soluciones generales de ecuaciones en ecuaciones trigonométricas  6.1.2. Fórmula de transformación  6.2. Funciones hiperbólicas  6.2.1. Definiciones y propiedades de las funciones hiperbólicas  6.2.2. Relación entre funciones hiperbólicas y trigonométricas
  7. Lógica aritmética  7.1. Razonamiento lógico  7.1.1. Declaraciones y conectores lógicos  7.1.2. Tautología y contradicción  7.2. Evidencia  7.2.1. Evidencia directa  7.2.2. Evidencia indirecta  7.2.3. Prueba por contradicción  7.2.4. Prueba por inducción matemática
  8. Aplicaciones de las Matemáticas  8.1. Aplicaciones del cálculo  8.1.1. Problemas de máximos y mínimos  8.1.2. Aplicaciones de la economía y la biología  8.1.3. Tasa de cambio en física  8.2. Aplicaciones de la Probabilidad  8.2.1. Análisis de riesgo  8.2.2. Toma de decisiones en aplicaciones de probabilidad  8.2.3. Teoría de juegos

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Cálculos


Introducción al cálculo

El cálculo es una rama de las matemáticas que se ocupa de las tasas de cambio y la acumulación de pequeñas cantidades. Se divide principalmente en dos partes: cálculo diferencial y cálculo integral. El cálculo diferencial se ocupa de las tasas de cambio (derivadas), mientras que el cálculo integral se ocupa de la acumulación de cantidades (integrales y área bajo curvas).

Cálculo diferencial

Comencemos con el cálculo diferencial. Imagina que estás conduciendo un automóvil y quieres saber qué tan rápido vas en un momento particular. Aquí es donde entra en juego el concepto de diferencial; nos ayuda a encontrar la tasa de cambio instantánea.

En términos simples, la diferenciación se puede entender como encontrar la pendiente de una curva. Si tienes una función f(x), entonces la derivada f'(x) te dice la pendiente de la tangente en cualquier punto x de esa curva.

Básicos de encontrar la derivada

Tomemos una función simple f(x) = x^2. Para encontrar su derivada:

f'(x) = 2x

Esta derivada nos dice que en cualquier punto x, la pendiente de la función es 2x. Cuando x = 2, la pendiente (o tasa de cambio) de la función es 4. Miremos esto gráficamente:

X y = x^2 línea tangente

Reglas de la diferenciación

Hay varias reglas para hacer que las funciones sean fácilmente diferenciables:

  • Regla del Poder: d/dx [x^n] = n*x^(n-1)
  • Regla de la Suma: d/dx [u + v] = du/dx + dv/dx
  • Regla de Multiplicación: Si u(x) y v(x) son funciones, entonces d/dx [u*v] = u'v + uv'
  • Regla del Cociente: d/dx [u/v] = (u'v - uv')/v^2
  • Regla de la Cadena: Si una función está compuesta por otras funciones, f(g(x)), entonces la derivada es f'(g(x)) * g'(x)

Cálculo integral

Ahora, hablemos del cálculo integral. Si el cálculo diferencial significa descomponer las cosas para ver cómo cambian, el cálculo integral significa unir las cosas para comprender el todo.

Las integrales se utilizan para calcular áreas bajo curvas, volúmenes, puntos centrales, etc. Para cualquier función f(x), la integral se representa como:

∫ f(x) dx

Integrales definidas e indefinidas

Las integrales se pueden clasificar en integrales indefinidas y definidas. Una integral indefinida no tiene un límite específico:

∫ x^2 dx = x^3/3 + c

Aquí, C es la constante de integración.

Una integral definida calcula el área bajo una curva entre dos puntos a y b :

∫[a, b] x^2 dx = [x^3/3] de a a b = (b^3/3) - (a^3/3)
A B área bajo la curva

Teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental del cálculo conecta la diferenciación y la integración y establece dos puntos importantes:

  1. La derivada de la integral de una función es la propia función original.
  2. Si se integra la derivada desde a hasta b, se obtendrá el valor de la función original en b menos su valor en a.

Esto se representa matemáticamente como:

d/dx (∫[a, x] f(t) dt) = f(x)
∫[a, b] f'(x) dx = f(b) - f(a)

Aplicación del cálculo: Ejemplo del mundo real

El cálculo se utiliza ampliamente en varios campos, como la física, la ingeniería, la economía, las estadísticas e incluso en el análisis de fenómenos biológicos.

Ejemplo: Cálculo en la física

En física, el cálculo se utiliza para estudiar el movimiento. Supongamos que una partícula se mueve en línea recta. Su posición en cualquier momento t está dada por s(t) = t^3 - 3t^2 + 2t. Vamos a encontrar la velocidad y la aceleración de la partícula:

  • Velocidad: La velocidad v(t) es la primera derivada de la función de posición. 
    v(t) = ds/dt = 3t^2 - 6t + 2
  • Aceleración: La aceleración a(t) es la derivada de la función de velocidad. 
    a(t) = dv/dt = 6t - 6
Post Tea

Mirar el gráfico de posición-tiempo anterior da una idea de la trayectoria de la partícula a lo largo del tiempo. Su gráfico de velocidad se verá más empinado en ciertos intervalos, donde la pendiente del gráfico de posición es mayor, indicando mayor velocidad.

Conclusión

El cálculo, aunque complejo, es un hermoso capítulo de las matemáticas que mejora nuestra comprensión de los cambios y áreas bajo curvas. Desde hazañas de ingeniería hasta fenómenos naturales, el cálculo tiene aplicaciones casi en todas partes. Mientras que las derivadas ayudan a comprender los cambios instantáneos, las integrales ayudan a resumir todo para mostrar el panorama general.

La clave para dominar el cálculo radica en practicar sus diversas preguntas. Mira cada problema como un pequeño rompecabezas, y con tiempo y paciencia, las soluciones llegarán de forma natural. No se trata solo de cálculos, sino también de apreciar el mundo matemático en su mejor expresión.


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