Aplicações de integrais em geometria

No mundo do cálculo, os integrais desempenham um papel vital em várias aplicações, especialmente no campo da geometria. O aspecto surpreendente dos integrais é sua capacidade de calcular o tamanho de várias formas geométricas, a área sob curvas, o volume de objetos complexos e muito mais. Em um nível fundamental, os integrais podem ser vistos como uma ferramenta para adicionar partes infinitamente pequenas para encontrar um todo. Vamos aprender como os integrais são usados para fins geométricos.

1. Área sob a curva

Uma das aplicações mais básicas de integrais é encontrar a área entre uma curva e o eixo x. Considere uma função contínua f(x) representada como uma curva em um gráfico. A área abaixo desta curva e acima do eixo x dos pontos a a b pode ser calculada usando o integral definido:

Área = ∫ de a a b de f(x) dx

Por exemplo, vamos calcular a área sob a curva f(x) = x^2 de x = 0 a x = 1 Será algo assim:

Área = ∫ de 0 a 1 de x^2 dx = [x^3/3] de 0 a 1 = (1^3/3) - (0^3/3) = 1/3

2. Entre duas curvas

Os integrais podem também encontrar a área entre duas curvas. Se você tiver duas funções, f(x) e g(x), onde f(x) ≥ g(x) no intervalo [a, b], então a área entre as duas curvas é dada por:

Área = ∫ de a a b de (f(x) - g(x)) dx

Suponha que queiramos encontrar a área entre f(x) = x^2 e g(x) = x de x = 0 a x = 1 O integral torna-se:

Área = ∫ de 0 a 1 de (x - x^2) dx = [(x^2/2 - x^3/3)] de 0 a 1 = (1/2 - 1/3) - (0) = 1/6

3. Volume de sólidos de revolução

Os integrais também são usados para determinar o volume de objetos formados pela rotação de curvas em torno de uma linha (ou eixo). Este processo é chamado de sólido de revolução. Para calcular o volume, existem dois métodos principais, que são o método do disco e o método do invólucro.

3.1 Método do disco

O método do disco é aplicável quando o sólido é modelado pela rotação de uma esfera em torno do eixo x ou eixo y. Para o eixo x, onde f(x) é a função sendo rotacionada, o volume V é calculado como:

V = π ∫ de a a b de [f(x)]^2 dx

Considere a função f(x) = sqrt(x) rotacionada em torno do eixo x de x = 0 a x = 1 O volume é:

V = π ∫ de 0 a 1 de (sqrt(x))^2 dx = π ∫ de 0 a 1 de (x) dx = π [x^2/2] de 0 a 1 = π/2

3.2 Método do invólucro

O método do invólucro gira uma região em torno de um eixo (geralmente o eixo y). Se considerarmos uma função f(x) rotacionada em torno do eixo y, o volume é:

V = 2π ∫ de a a b de x * f(x) dx

Exemplo: Dada f(x) = x^3, calculamos o volume quando esta curva é rotacionada em torno do eixo y de x = 0 a x = 1:

V = 2π ∫ de 0 a 1 de x * x^3 dx = 2π ∫ de 0 a 1 de x^4 dx = 2π [x^5/5] de 0 a 1 = 2π/5

4. Comprimento do arco

Medir o comprimento de uma curva é outra aplicação geométrica da integração. Para a curva y = f(x) de x = a a x = b, o comprimento L é dado por:

L = ∫ de a a b de √[1 + (f'(x))^2] dx

Como exemplo, vamos encontrar o comprimento do arco da curva f(x) = x^2 de x = 0 a x = 1:

f'(x) = 2x L = ∫ de 0 a 1 de √[1 + (2x)^2] dx = ∫ de 0 a 1 de √[1 + 4x^2] dx

Nota: Este integral particular pode não ter uma solução simples de forma fechada, e métodos numéricos podem ser usados para calcular um valor aproximado.

5. Área de superfície de sólidos de revolução

Calcular a área de superfície para sólidos de revolução ajuda a determinar quanto material é necessário para criar uma estrutura física. Para uma função f(x) que gira em torno do eixo x, a área de superfície A é calculada como:

A = 2π ∫ de a a b de f(x) √[1 + (f'(x))^2] dx

Rotacione f(x) = x^2 em torno do eixo x de x = 0 a x = 1 Encontre a área de superfície:

f'(x) = 2x A = 2π ∫ de 0 a 1 de x^2 √[1 + (2x)^2] dx = 2π ∫ de 0 a 1 de x^2 √[1 + 4x^2] dx

Como no comprimento do arco, resolver este integral pode requerer aproximações numéricas.

6. Centróide e centro de massa

Em geometria, o centróide é o centro de massa de um objeto geométrico com densidade uniforme. Para um plano com uma função de densidade ρ(x, y), as coordenadas (x̄, ȳ) podem ser encontradas usando:

x̄ = (1/M) * ∬ x ρ(x, y) dA ȳ = (1/M) * ∬ y ρ(x, y) dA

onde M é a massa total, que é encontrada usando o seguinte:

M = ∬ ρ(x, y) dA

Embora os integrais acima estejam em duas dimensões, em exercícios práticos, especialmente no nível da turma 12, frequentemente se dá ênfase à densidade uniforme, e os centróides geométricos são simplificados.

Se você considerar um semicírculo de raio 1, o centróide pode ser simplificado e a simetria do eixo x pode ser vista com integrais avaliados para formas simples.

Conclusão

Os integrais são uma ferramenta versátil e poderosa no campo do cálculo que nos permite resolver uma ampla variedade de problemas relacionados à geometria. Seja para calcular a área entre curvas, determinar o volume e a área de superfície de sólidos, encontrar o comprimento de curvas ou identificar centróides, os integrais fornecem a base matemática necessária para entender e resolver esses problemas fascinantes. Ao ir além dessas ilustrações simples, os integrais formam a espinha dorsal de muitas aplicações avançadas em física, engenharia e além.

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