幾何学における積分の応用

微積分の世界では、積分は特に幾何学の分野で様々な応用において重要な役割を果たします。積分の素晴らしい点は、様々な幾何学的形状のサイズ、曲線の下の面積、複雑な物体の体積などを計算できる能力です。基本的なレベルでは、積分は全体を見つけるために無限に小さな部分を足し合わせるツールと見なされます。積分が幾何学的な目的にどのように使われるか学びましょう。

1. 曲線下の面積

積分の最も基本的な応用の一つは、曲線と x 軸との間の面積を求めることです。グラフに曲線として表される連続関数 f(x) を考えてみましょう。この曲線の下で x 軸の上の点 a から b までの面積は、定積分を使って次のように計算できます:

面積 = ∫ from a to b of f(x) dx

例えば、f(x) = x^2 という曲線の下の面積を x = 0 から x = 1 まで計算すると次のようになります:

面積 = ∫ from 0 to 1 of x^2 dx = [x^3/3] from 0 to 1 = (1^3/3) - (0^3/3) = 1/3

2. 二つの曲線の間の面積

積分はまた、二つの曲線の間の面積を求めることもできます。もし二つの関数 f(x) と g(x) があり、区間 [a, b] で f(x) ≥ g(x) の場合、二つの曲線の間の面積は以下のように与えられます:

面積 = ∫ from a to b of (f(x) - g(x)) dx

仮に f(x) = x^2 と g(x) = x という二つの曲線の間の面積を x = 0 から x = 1 まで求めたいとします。この場合の積分は以下になります:

面積 = ∫ from 0 to 1 of (x - x^2) dx = [(x^2/2 - x^3/3)] from 0 to 1 = (1/2 - 1/3) - (0) = 1/6

3. 回転体の体積

積分はまた、曲線を軸回りに回転させて形成される物体の体積を決定するためにも用いられます。この過程は回転体と呼ばれます。体積を計算するための主な方法は、ディスク法とシェル法の二つです。

3.1 ディスク法

ディスク法は、x 軸または y 軸の周りに球を回転させてモデリングされる固体に適用されます。x 軸において、回転される関数 f(x) の場合、体積 V は以下のように計算されます:

V = π ∫ from a to b of [f(x)]^2 dx

関数 f(x) = sqrt(x) が x 軸の周りに回転される場合、x = 0 から x = 1 までの体積は以下の通りです:

V = π ∫ from 0 to 1 of (sqrt(x))^2 dx = π ∫ from 0 to 1 of (x) dx = π [x^2/2] from 0 to 1 = π/2

3.2 シェル法

シェル法は、領域を軸周りに回転させます（通常 y 軸）。関数 f(x) が y 軸の周りに回転される場合、その体積は以下です:

V = 2π ∫ from a to b of x * f(x) dx

例: f(x) = x^3 が与えられ、この曲線が x = 0 から x = 1 まで y 軸の周りに回転されたときの体積を計算します:

V = 2π ∫ from 0 to 1 of x * x^3 dx = 2π ∫ from 0 to 1 of x^4 dx = 2π [x^5/5] from 0 to 1 = 2π/5

4. 曲線の長さ

曲線の長さを測ることも積分の幾何学的応用の一つです。y = f(x) の曲線が x = a から x = b までの長さ L は以下により与えら

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